浅析curvelet变换原理与理解
curvelet变换是基于傅里叶变换和小波变换的一种改进，其特点是有高度的各向异性，具有良好表达图形沿边缘的信息的能力，对于恢复形状的沿边缘的主要结构和抑制周边噪声有其特有优势。
其过程为
这和传统的dft及小波变换的处理过程类似，把图表中的curvelet换成dft和wavelet就可以了。
curvelet变换是最近图像处理较新的一种多尺度几何变换算法。其发展历程在短短十年间：
1999年，candès和donoho在ridgelet变换的基础上提出了连续曲波（curvelet）变换——第一代curvelet变换中的curvelet99。
2002年，strack、candès和donoho提出了第一代curvelet变换中的curvelet02。
2002年，candès等人提出了第二代curvelet变换。
2005年，candès提出了两种基于第二代curvelet变换理论的快速离散实现方法：
1）非均匀空间抽样的二维fft算法（unequally-spaced fast fourier transform，usfft）；
2）wrap算法（wrapping-based transform）
与小波变换类似，curvelet变换同样有其对应公式。curvelet系数可由下式得到，即信号与小波函数内积：
这里j表示尺度，l表示方向，k表示位移。变换的推导以及原理是个十分复杂的过程，这需要有相当强的数学功底。
curvelet变换原理 curvelet 变换通过对radon 域内的每一个投影轴作一维小波分析，并由局部脊波分析得到多尺度结构。设参量θ是常数，平移量1是变量，脊波系数r，（a，b，θ）为
然后对每个分块用式（1，2）进行脊波分析。上面每步均可逆，经过逆变换可得重建图像。
通过radon域的多角度投影，curvelet变换明显加强了目标边界。同时由于curvelet变换是多尺度脊波变换的子集，它可以用投影切片定理来实现：一幅n×n的图像可表达成2n条径向线的积分结果，对每条线的投影数据计算一维小波变换，就得到脊波系数。这样的curvelet变换冗余因子达到16j+1。由于经典算法中分块的径向抽样角度恒定，直角坐标与极坐标的转换将导致在同一块内数据的非均匀抽样，当块中心附近的抽样值满足奈奎斯特抽样定理要求时，在块的边界部分将出现欠抽样;而当块边界部分满足抽样定理要求时，块中心部分数据将会过抽样，而且块的尺寸越大，非均匀抽样的影响就越明显。因此，在原算法中尽管离散curvelet变换的实现较简单，但是为了无失真地重构图像，保证块边界周围的抽样值足够多，它在块的中心部分实施了过抽样，因此耗时和冗余度也相应增大。
下面是对curvelet变换的理解： 在时间域：curvelet变换可以看做是一个椭圆以内积形式依次覆盖整个矩阵（指要变换的矩阵），这个图在很多地方都出现过。就我个人的理解详细解释下。
这里的椭圆就是curvelet变换的窗口，相当于小波变换的基函数。其长轴与短轴关系为平方关系，其窗口大小视尺度j而定。与二维小波变换最大的优势在于curvelet变换具有方向性。就是在尺度j下，椭圆做完整个矩阵的内积后（即依次覆盖完整个矩阵），可得到一组系数。然后将椭圆进行旋转适当的角度a再与矩阵做内积得到a角度的curvelet系数。这样将椭圆进行多次旋转，每旋转一个角度就能得到尺度j一个方向的系数矩阵。在尺度j下做l次旋转，那么尺度j下就产生l个角度的系数矩阵。做完尺度j了接下来做尺度j+1下所有角度，方法同上。
如一幅图像上有一段弧，椭圆长轴沿着弧方向做覆盖内积得到的系数就大。这样就适合做图像边缘检测。
对于curvelet变换的matlab程序包curvlab可在网上下载。curvlab包里有curvelet的快速离散算法的matlab程序和c++程序。
将其添加在matlab里面：file -》 set path
add folder 添加好curvlab里相关*. m文件的路径。
这时在matlab里面使用curvelet的快速变换及反变换函数：
fdct_usfft（）
ifdct_usfft（）
fdct_wrapping（）
ifdct_wrapping（）
在matlab中curvelet变换后返回的是一个cell矩阵。这个矩阵装着各个尺度、各个方向的系数值。
c= fdct_usfft（***）；
c{j}表示一个cell矩阵，装着尺度j上所有方向的系数。
c{j}{l}就表示是一个二维矩阵，表示尺度j，方向l上的所有系数，
一般尺度越高，其对应的都是高频系数。
curvelet matlab示例代码理解 1. fdct_wrapping
function c = fdct_wrapping（x， is_real， finest， nbscales， nbangles_coarse）
% fdct_wrapping.m - fast discrete curvelet transform via wedge wrapping - version 1.0
%
% inputs
% x m-by-n matrix 输入为mxn的矩阵
%
% optional inputs
% is_real type of the transform 转化的类型
% 0： complex-valued curvelets 复数值的曲波变化
% 1： real-valued curvelets 实数值的曲波变化
% ［default set to 0］ 默认设置为0
% finest chooses one of two possibilities for the coefficients at the
% finest level： 选择一种表示方式计算最优级的系数
% 1： curvelets 曲波变化
% 2： wavelets 小波变化
% ［default set to 2］ 默认设置为2
% nbscales number of scales including the coarsest wavelet level
% 包含最粗小波级在内的伸缩数
% ［default set to ceil（log2（min（m，n）） - 3）］
% nbangles_coarse
% number of angles at the 2nd coarsest level， minimum 8，
% 第二粗糙级的角度数，最小为8
% must be a multiple of 4. ［default set to 16］
% 必须为4的倍数，默认为16
% outputs
% c cell array of curvelet coefficients.
% c{j}{l}（k1，k2） is the coefficient at
% - scale j： integer， from finest to coarsest scale，
% 从最佳尺度到最粗尺度
% - angle l： integer， starts at the top-left corner and
% increases clockwise，
% 从左上角开始顺时针增长
% - position k1，k2： both integers， size varies with j
% and l.
% if is_real is 1， there are two types of curvelets，
% ‘cosine’ and ‘sine’。 for a given scale j， the ‘cosine’
% coefficients are stored in the first two quadrants （low
% values of l）， the ‘sine’ coefficients in the last two
% quadrants （high values of l）。
%
% see also ifdct_wrapping.m， fdct_wrapping_param.m
%
% by laurent demanet， 200412345678910111213141516171819202122232425262728293031323334353637383940414243
2. dct基本示例代码理解 % fdct_wrapping_demo_basic.m -- displays a curvelet both in the spatial and frequency domains.
m = 1024;
n = 1024;
x = zeros（m，n）;
%forward curvelet transform
disp（‘take curvelet transform： fdct_wrapping’）;
tic; c = fdct_wrapping（x，0，2，8，64）; toc; %tic toc配合使用测量程序运行时间
%specify one curvelet
s = 7; %从1开始增大，空间域变细，频率域变粗
w = 10;%从1（左上角）开始增大，空间域顺时针旋转，与笛卡尔corona相对应
［a，b］ = size（c{s}{w}）;%尺度为s，方向为w，的矩阵大小
a = ceil（（a+1）/2）;
b = ceil（（b+1）/5）;
c{s}{w}（a，b） = 1; %该尺度、方向中心位置元素设置为1
%adjoint curvelet transform
disp（‘take adjoint curvelet transform： ifdct_wrapping’）;
tic; y = ifdct_wrapping（c，0）; toc;%进行反曲波变化，得到空间域图像
%display the curvelet
f = ifftshift（fft2（fftshift（y）））;
subplot（1，2，1）; colormap gray; imagesc（real（y））; axis（‘image’）; 。。。
title（‘a curvelet： spatial viewpoint’）;
subplot（1，2，2）; colormap gray; imagesc（abs（f））; axis（‘image’）; 。。。
title（‘a curvelet： frequency viewpoint’）;
%get parameters
［sx，sy，fx，fy，nx，ny］ = fdct_wrapping_param（c）;
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2002年，strack、candès和donoho提出了第一代curvelet变换中的curvelet02。
2002年，candès等人提出了第二代curvelet变换。
2005年，candès提出了两种基于第二代curvelet变换理论的快速离散实现方法：
1）非均匀空间抽样的二维fft算法（unequally-spaced fast fourier transform，usfft）；
2）wrap算法（wrapping-based transform）
与小波变换类似，curvelet变换同样有其对应公式。curvelet系数可由下式得到，即信号与小波函数内积：
这里j表示尺度，l表示方向，k表示位移。变换的推导以及原理是个十分复杂的过程，这需要有相当强的数学功底。
curvelet变换原理 curvelet 变换通过对radon 域内的每一个投影轴作一维小波分析，并由局部脊波分析得到多尺度结构。设参量θ是常数，平移量1是变量，脊波系数r，（a，b，θ）为
然后对每个分块用式（1，2）进行脊波分析。上面每步均可逆，经过逆变换可得重建图像。
通过radon域的多角度投影，curvelet变换明显加强了目标边界。同时由于curvelet变换是多尺度脊波变换的子集，它可以用投影切片定理来实现：一幅n×n的图像可表达成2n条径向线的积分结果，对每条线的投影数据计算一维小波变换，就得到脊波系数。这样的curvelet变换冗余因子达到16j+1。由于经典算法中分块的径向抽样角度恒定，直角坐标与极坐标的转换将导致在同一块内数据的非均匀抽样，当块中心附近的抽样值满足奈奎斯特抽样定理要求时，在块的边界部分将出现欠抽样;而当块边界部分满足抽样定理要求时，块中心部分数据将会过抽样，而且块的尺寸越大，非均匀抽样的影响就越明显。因此，在原算法中尽管离散curvelet变换的实现较简单，但是为了无失真地重构图像，保证块边界周围的抽样值足够多，它在块的中心部分实施了过抽样，因此耗时和冗余度也相应增大。
下面是对curvelet变换的理解： 在时间域：curvelet变换可以看做是一个椭圆以内积形式依次覆盖整个矩阵（指要变换的矩阵），这个图在很多地方都出现过。就我个人的理解详细解释下。
这里的椭圆就是curvelet变换的窗口，相当于小波变换的基函数。其长轴与短轴关系为平方关系，其窗口大小视尺度j而定。与二维小波变换最大的优势在于curvelet变换具有方向性。就是在尺度j下，椭圆做完整个矩阵的内积后（即依次覆盖完整个矩阵），可得到一组系数。然后将椭圆进行旋转适当的角度a再与矩阵做内积得到a角度的curvelet系数。这样将椭圆进行多次旋转，每旋转一个角度就能得到尺度j一个方向的系数矩阵。在尺度j下做l次旋转，那么尺度j下就产生l个角度的系数矩阵。做完尺度j了接下来做尺度j+1下所有角度，方法同上。
如一幅图像上有一段弧，椭圆长轴沿着弧方向做覆盖内积得到的系数就大。这样就适合做图像边缘检测。
对于curvelet变换的matlab程序包curvlab可在网上下载。curvlab包里有curvelet的快速离散算法的matlab程序和c++程序。
将其添加在matlab里面：file -》 set path
add folder 添加好curvlab里相关*. m文件的路径。
这时在matlab里面使用curvelet的快速变换及反变换函数：
fdct_usfft（）
ifdct_usfft（）
fdct_wrapping（）
ifdct_wrapping（）
在matlab中curvelet变换后返回的是一个cell矩阵。这个矩阵装着各个尺度、各个方向的系数值。
c= fdct_usfft（***）；
c{j}表示一个cell矩阵，装着尺度j上所有方向的系数。
c{j}{l}就表示是一个二维矩阵，表示尺度j，方向l上的所有系数，
一般尺度越高，其对应的都是高频系数。
curvelet matlab示例代码理解 1. fdct_wrapping
function c = fdct_wrapping（x， is_real， finest， nbscales， nbangles_coarse）
% fdct_wrapping.m - fast discrete curvelet transform via wedge wrapping - version 1.0
%
% inputs
% x m-by-n matrix 输入为mxn的矩阵
%
% optional inputs
% is_real type of the transform 转化的类型
% 0： complex-valued curvelets 复数值的曲波变化
% 1： real-valued curvelets 实数值的曲波变化
% ［default set to 0］ 默认设置为0
% finest chooses one of two possibilities for the coefficients at the
% finest level： 选择一种表示方式计算最优级的系数
% 1： curvelets 曲波变化
% 2： wavelets 小波变化
% ［default set to 2］ 默认设置为2
% nbscales number of scales including the coarsest wavelet level
% 包含最粗小波级在内的伸缩数
% ［default set to ceil（log2（min（m，n）） - 3）］
% nbangles_coarse
% number of angles at the 2nd coarsest level， minimum 8，
% 第二粗糙级的角度数，最小为8
% must be a multiple of 4. ［default set to 16］
% 必须为4的倍数，默认为16
% outputs
% c cell array of curvelet coefficients.
% c{j}{l}（k1，k2） is the coefficient at
% - scale j： integer， from finest to coarsest scale，
% 从最佳尺度到最粗尺度
% - angle l： integer， starts at the top-left corner and
% increases clockwise，
% 从左上角开始顺时针增长
% - position k1，k2： both integers， size varies with j
% and l.
% if is_real is 1， there are two types of curvelets，
% ‘cosine’ and ‘sine’。 for a given scale j， the ‘cosine’
% coefficients are stored in the first two quadrants （low
% values of l）， the ‘sine’ coefficients in the last two
% quadrants （high values of l）。
%
% see also ifdct_wrapping.m， fdct_wrapping_param.m
%
% by laurent demanet， 200412345678910111213141516171819202122232425262728293031323334353637383940414243
2. dct基本示例代码理解 % fdct_wrapping_demo_basic.m -- displays a curvelet both in the spatial and frequency domains.
m = 1024;
n = 1024;
x = zeros（m，n）;
%forward curvelet transform
disp（‘take curvelet transform： fdct_wrapping’）;
tic; c = fdct_wrapping（x，0，2，8，64）; toc; %tic toc配合使用测量程序运行时间
%specify one curvelet
s = 7; %从1开始增大，空间域变细，频率域变粗
w = 10;%从1（左上角）开始增大，空间域顺时针旋转，与笛卡尔corona相对应
［a，b］ = size（c{s}{w}）;%尺度为s，方向为w，的矩阵大小
a = ceil（（a+1）/2）;
b = ceil（（b+1）/5）;
c{s}{w}（a，b） = 1; %该尺度、方向中心位置元素设置为1
%adjoint curvelet transform
disp（‘take adjoint curvelet transform： ifdct_wrapping’）;
tic; y = ifdct_wrapping（c，0）; toc;%进行反曲波变化，得到空间域图像
%display the curvelet
f = ifftshift（fft2（fftshift（y）））;
subplot（1，2，1）; colormap gray; imagesc（real（y））; axis（‘image’）; 。。。
title（‘a curvelet： spatial viewpoint’）;
subplot（1，2，2）; colormap gray; imagesc（abs（f））; axis（‘image’）; 。。。
title（‘a curvelet： frequency viewpoint’）;
%get parameters
［sx，sy，fx，fy，nx，ny］ = fdct_wrapping_param（c）;
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计算机寄存器和存储器
未来五年，整个ToB市场仍然将每年保持35%以上增长速度
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为什么pcb抄板饱受争议
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浅谈PCB设计需要考虑多个变量的性能问题
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