Matlab用导数作定性分析
matlab用导数作定性分析
5.1知识要点：函数作图 —用导数定性描述函数
【 clf,x=linspace(-8,8,30);f=(x-3).^2./(4*(x-1)); plot(x,f) 】
【 fplot('(x-3)^2/(4*(x-1))',[-8,8])) 】
【 clf,x=sym('x'); f=(x-3)^2/(4*(x-1)); ezplot(f,[-8,8]) ,
title('(x-3)^2/(4*(x-1))','fontsize',11) ,
xlabel('x','fontsize',11) 】
◆按函数绘图步骤绘制完整的函数图，直接用matlab符号演算完成必须的计算。
【 df_dx=diff('(x-3)^2/(4*(x-1))') 】
【 sym('x');factor(df_dx) 】
【 f=inline('(x-3)^2/(4*(x-1))');x1=[-1,f(-1)],x2=[3,f(3)] 】
求符号二阶导数d2y/dx2：
【 df2_dx2=diff(‘(x-3)^2/(4*(x-1))’,2) 】
二阶导数的因式分解：
【 sym('x'); factor(df2_dx2) 】
【 syms x
f_left=limit('(x-3)^2/(4*(x-1))',x,1,'left')
f_right=limit('(x-3)^2/(4*(x-1))',x,1,'right') 】
【 syms x
f_minus_inf=limit('(x-3)^2/(4*(x-1))',x,-inf,'right')
f_plus_inf=limit('(x-3)^2/(4*(x-1))',x,inf,'left') 】
③有无斜渐近线？
【 syms x, a=limit('((x-3)^2/(4*(x-1)))/x',x,inf) 】
【 b=limit('(x-3)^2/(4*(x-1))-(1/4)*x',x,inf,'left') 】
5.2实验与观察：微分方程的定性解图示
5.2.1人口增长的预测
1.malthus模型
2.logistic模型
【 n=dsolve('dn=r*(1-n/nm)*n','n(t0)=n0') 】
3.微分方程解的定性分析
观察1：
◆（1）求n = n (t)的驻点和拐点。
【 syms t
dn2_dt2=diff('r*(1-n(t)/nm)*n(t)',t) , dn2_dt2=factor(dn2_dt2) 】
4.用导数作稳定性分析
下面是绘制图5.8的参考程序。
【 clf, n=linspace(0,300,50);
dn=0.3134*(1-n/250).*n;
plot(n,dn),hold on,
plot([0 300],[0,0]),
plot([0,250/2,250],[0,0,0],'o'),
xlabel('n','fontsize',11),ylabel('dn','fontsize',11),
text(n(32),dn(32),'\leftarrow\it{d n / d t}>0,相点递增右移','fontsize',11),
text(125,dn(45),'\it{dn/dt}=d);x(kx)=nan;
ky=find(abs(y)>=d);x(ky)=nan;
plot(t,[x;y],'.','markersize',3),
hold on,plot([a b],[0,0],'r',[0 0],[c,d],':'),axis([a b c d]),
xlabel('t'),ylabel('x and y') ,
text(-3.8,7,'put any key to show x=x(t)');pause,comet(t,x),
text(-3.8,6,'put any key to show y=y(t)');pause,comet(t,y) 】
5.3.2.平衡点的分类
5.3.3定性分析的应用
1.捕鱼业持续的收获
画定性分析图的程序zxy5_4.m
【 clf,clear,n=50; r=4.4;e=[0.5 2.2 6.5];x=linspace(0,n,30);
f1=r*x.*(1-x/n);plot(x,r.*x,':','linewidth',2),axis([0 50 0 80]),hold on
text(x(10),r*x(10),['\leftarrow y=rx, r= ',num2str(r)])
for i=1:3
f2(i,:)=e(i)*x;
text(x(5),f2(i,5),['\leftarrow y=',num2str(e(i)),'x'])
end
plot(x,f1,x,f2),hold on,
text(x(22),f1(22),['\leftarrow dx/dt=rx(1-x/n)']),xlabel('x'),ylabel('dx/dt') 】
2. 蚜虫生长和跃变
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【 fplot('(x-3)^2/(4*(x-1))',[-8,8])) 】
【 clf,x=sym('x'); f=(x-3)^2/(4*(x-1)); ezplot(f,[-8,8]) ,
title('(x-3)^2/(4*(x-1))','fontsize',11) ,
xlabel('x','fontsize',11) 】
◆按函数绘图步骤绘制完整的函数图，直接用matlab符号演算完成必须的计算。
【 df_dx=diff('(x-3)^2/(4*(x-1))') 】
【 sym('x');factor(df_dx) 】
【 f=inline('(x-3)^2/(4*(x-1))');x1=[-1,f(-1)],x2=[3,f(3)] 】
求符号二阶导数d2y/dx2：
【 df2_dx2=diff(‘(x-3)^2/(4*(x-1))’,2) 】
二阶导数的因式分解：
【 sym('x'); factor(df2_dx2) 】
【 syms x
f_left=limit('(x-3)^2/(4*(x-1))',x,1,'left')
f_right=limit('(x-3)^2/(4*(x-1))',x,1,'right') 】
【 syms x
f_minus_inf=limit('(x-3)^2/(4*(x-1))',x,-inf,'right')
f_plus_inf=limit('(x-3)^2/(4*(x-1))',x,inf,'left') 】
③有无斜渐近线？
【 syms x, a=limit('((x-3)^2/(4*(x-1)))/x',x,inf) 】
【 b=limit('(x-3)^2/(4*(x-1))-(1/4)*x',x,inf,'left') 】
5.2实验与观察：微分方程的定性解图示
5.2.1人口增长的预测
1.malthus模型
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【 n=dsolve('dn=r*(1-n/nm)*n','n(t0)=n0') 】
3.微分方程解的定性分析
观察1：
◆（1）求n = n (t)的驻点和拐点。
【 syms t
dn2_dt2=diff('r*(1-n(t)/nm)*n(t)',t) , dn2_dt2=factor(dn2_dt2) 】
4.用导数作稳定性分析
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【 clf, n=linspace(0,300,50);
dn=0.3134*(1-n/250).*n;
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plot([0 300],[0,0]),
plot([0,250/2,250],[0,0,0],'o'),
xlabel('n','fontsize',11),ylabel('dn','fontsize',11),
text(n(32),dn(32),'\leftarrow\it{d n / d t}>0,相点递增右移','fontsize',11),
text(125,dn(45),'\it{dn/dt}=d);x(kx)=nan;
ky=find(abs(y)>=d);x(ky)=nan;
plot(t,[x;y],'.','markersize',3),
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xlabel('t'),ylabel('x and y') ,
text(-3.8,7,'put any key to show x=x(t)');pause,comet(t,x),
text(-3.8,6,'put any key to show y=y(t)');pause,comet(t,y) 】
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for i=1:3
f2(i,:)=e(i)*x;
text(x(5),f2(i,5),['\leftarrow y=',num2str(e(i)),'x'])
end
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text(x(22),f1(22),['\leftarrow dx/dt=rx(1-x/n)']),xlabel('x'),ylabel('dx/dt') 】
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