Python轴承故障诊断之经验模态分解EMD原理介绍
1 经验模态分解emd原理介绍
1.1 emd概述
经验模态分解（empirical mode decomposition，emd）方法是一种自适应信号时频处理方法，特别适用于非线性、非平稳信号的分析处理[1]。其本质是一种对信号进行分解的方法,将信号分解为各个相互独立的成分的叠加,依据数据自身的时间尺度特征来进行信号分解，具备自适应性。
emd的优点在于它是一种自适应的、数据驱动的分解方法，不需要预先假设信号的分布或结构。这使得它适用于处理各种类型的信号，包括非线性和非平稳信号。
emd 认为任何一个复杂序列都是由多个单频率信号叠加而成，因此可以分解成若干个 本征模态函数（intrinsic mode functions, imf），imf 的各个分量即代表了原始信号中的各频 率分量，并按照从高频到低频的顺序依次排列，这也是 imf 的物理含义[2]。
1.2 本征模态函数imf
本征模态函数（intrinsic mode functions, imf）就是原始信号被 emd 分解之后得到的各层信号分量。任何信号都可以拆分成若干个 imf 之和。imf 有两个假设条件：
在整个数据段内，极值点的个数和过零点的个数必须相等或相差最多不能超过一 个；在任意时刻，由局部极大值点形成的上包络线和由局部极小值点形成的下包络线 的平均值为零，即上、下包络线相对于时间轴局部对称。对于上述的条件理解如下：
第一，图线要反复跨越 x 轴，比如：
反复跨越 x 轴
而不能像下面这样某次穿过零点后出现多个极点：
某次穿过零点后出现多个极点
第二，上下包络线要对称，比如：
上下包络线对称
而不能像如下这样，上下包络线不对称
1.3 emd 分解的基本假设
信号至少有两个极值点：一个极大值点和一个极小值点；特征时间尺度由极值之间的时间间隔定义；如果数据完全没有极值，但只包含拐点，那么可以一次或多次划分来揭示极值点，最终的结果可以通过积分得到2 emd分解的基本原理和步骤
emd的分解过程是一个迭代的过程。首先，对原始信号进行极值点的提取，然后通过连接极值点的均值得到第一轮的近似imf（也叫做“本征模态”）。接下来，将这个近似imf从原始信号中减去，得到一个新的信号，然后对这个新信号再次进行极值点提取和均值连接，得到第二轮的近似imf。如此往复，直到得到的近似imf满足某种停止准则。
对于原始信号 x(t)
第一步，极值点提取：
从待分解的信号中识别局部极值点，包括局部极大值和局部极小值。极值点是信号中的局部特征，能够帮助刻画信号的振荡特性。
第二步，构建上下包络线：
通过连接相邻的局部极大值和局部极小值，构建信号的上包络线和下包络线。上包络线 u(t) 由局部极大值连接而成，下包络线 l(t) 由局部极小值连接而成。包络线用于描述信号的振荡范围。
第三步，提取均值函数：
计算上包络线和下包络线的平均值，得到均值函数 m1。将原始信号减去均值函数，得到一维信号 h1。
m1 = ( u(t) + l(t) ) / 2
h1 = x(t) - m1
第四步，迭代分解：
对减去均值函数后的一维信号 h1，重复步骤1-3的过程，直到得到的剩余信号为“单调信号”，或者满足imf的两个假设条件。迭代k次的imf为
hk = h(k-1) - mk
第五步，确定本征模态函数（imf）：
在每一次迭代中，通过极值点提取、构建包络线等步骤，得到的剩余信号被称为一个本征模态函数（imf）。imf具有局部特征，并且代表了信号在不同尺度上的振荡模式。使用上述方法得到的第一个imf记为c1, 然后将c1从原始信号中分离，得到
r1 = x(t) - c1
由于r1仍然包含大量信息，因此将r1作为新的原始信号，再通过步骤1-4的分析，可以得到imf2，以此类推，得到
r1 - c2 = r2,... ..., r(n-1) -cn = rn
当cn或rn小于某一设定值，或者得到的剩余信号为“单调信号”，无法提取更多的imf时，迭代终止，得到最终的分解结果为：
第六步，重构信号：
将得到的imf函数进行逐个提取，直到无法再得到新的imf为止。最终得到的imf函数可以被看作是信号在不同时间尺度上的振荡模式，它们的组合可以重构原始信号。
这些基本步骤构成了emd方法的核心流程，通过这些步骤，emd可以将复杂的信号分解成不同尺度和频率的本征模态函数，从而揭示信号的局部特征和振荡模式。
3 基于python的emd实现
在 python 中，使用 pyemd 库来实现经验模态分解（emd）
2.1 代码示例
import numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltfrom pyemd import emd# 生成一个示例信号t = np.linspace(0, 1, 1000)s = np.sin(11*2*np.pi*t*t) + 6*t*t# 创建 emd 对象emd = emd()# 对信号进行经验模态分解imfs = emd(s)# 绘制原始信号和每个本征模态函数（imf）plt.figure(figsize=(15,10))plt.subplot(len(imfs)+1, 1, 1)plt.plot(t, s, 'r')plt.title(original signal)for num, imf in enumerate(imfs): plt.subplot(len(imfs)+1, 1, num+2) plt.plot(t, imf) plt.title(imf +str(num+1))plt.show()
2.2 轴承故障数据的分解
选择 0.021英寸滚珠故障信号数据来做emd分解
2.2.1 凯斯西储大学轴承数据的加载
第一步，导入包，读取数据
import numpy as npfrom scipy.io import loadmatimport matplotlib.pyplot as pltimport matplotlibmatplotlib.rc(font, family='microsoft yahei')# 读取mat文件data = loadmat('21_2.mat') # 0.021英寸 滚珠# 注意，读取出来的data是字典格式，可以通过函数type(data)查看。第二步，数据集中读取 驱动端加速度数据，取一个长度为1024的信号进行后续观察和实验
# de - drive end accelerometer data 驱动端加速度数据data_list = data['x222_de_time'].reshape(-1)# 划窗取值（大多数窗口大小为1024）data_list = data_list3[0:1024]# 进行数据可视化plt.figure(figsize=(20,10))plt.plot(data_list)plt.title(滚珠)plt.show()
2.2.2 滚珠故障信号emd分解
import numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltfrom pyemd import emdt = np.linspace(0, 1, 1024)data = np.array(data_list)# 创建 emd 对象emd = emd()# 对信号进行经验模态分解imfs = emd(data)# 绘制原始信号和每个本征模态函数（imf）plt.figure(figsize=(15,10))plt.subplot(len(imfs)+1, 1, 1)plt.plot(t, data, 'r')plt.title(original signal, fontsize=10)for num, imf in enumerate(imfs): plt.subplot(len(imfs)+1, 1, num+2) plt.plot(t, imf) plt.title(imf +str(num+1), fontsize=10) # 增加第一排图和第二排图之间的垂直间距plt.subplots_adjust(hspace=0.4, wspace=0.2)plt.show()
2.3 信号分量的处理
通过经验模态分解（emd）得到了信号的分量，可以进行许多不同的分析和处理操作，以下是一些常见的对分量的利用方向：
（1）信号重构：将分解得到的各个本征模态函数（imf）相加，可以重构原始信号。这可以用于验证分解的效果，或者用于信号的重建和恢复。
（2）去噪：对于复杂的信号，可能存在噪声或干扰成分。通过分析各个imf的频率和振幅，可以识别和去除信号中的噪声成分。
（3）频率分析：分析每个imf的频率成分，可以帮助理解信号在不同频率上的振荡特性，从而揭示信号的频域特征。
（4）特征提取：每个imf代表了信号的局部特征和振荡模式，可以用于提取信号的特征，并进一步应用于机器学习或模式识别任务中。
（5）信号预测：通过对分解得到的各个imf进行分析，可以探索信号的未来趋势和发展模式，从而用于信号的预测和预测建模。
（6）模式识别：分析每个imf的时域和频域特征，可以帮助对信号进行模式识别和分类，用于识别信号中的不同模式和特征。
（7）异常检测：通过分析每个imf的振幅和频率特征，可以用于探测信号中的异常或突发事件，从而用于异常检测和故障诊断。
在得到了信号的分量之后，可以根据具体的应用需求选择合适的分析和处理方法，以实现对信号的深入理解、特征提取和应用。对于后续的研究，主要利用imf分类来对故障信号做模式识别，即故障分类。
DC/DC转换器评估篇 损耗探讨-小结
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emd的优点在于它是一种自适应的、数据驱动的分解方法，不需要预先假设信号的分布或结构。这使得它适用于处理各种类型的信号，包括非线性和非平稳信号。
emd 认为任何一个复杂序列都是由多个单频率信号叠加而成，因此可以分解成若干个 本征模态函数（intrinsic mode functions, imf），imf 的各个分量即代表了原始信号中的各频 率分量，并按照从高频到低频的顺序依次排列，这也是 imf 的物理含义[2]。
1.2 本征模态函数imf
本征模态函数（intrinsic mode functions, imf）就是原始信号被 emd 分解之后得到的各层信号分量。任何信号都可以拆分成若干个 imf 之和。imf 有两个假设条件：
在整个数据段内，极值点的个数和过零点的个数必须相等或相差最多不能超过一 个；在任意时刻，由局部极大值点形成的上包络线和由局部极小值点形成的下包络线 的平均值为零，即上、下包络线相对于时间轴局部对称。对于上述的条件理解如下：
第一，图线要反复跨越 x 轴，比如：
反复跨越 x 轴
而不能像下面这样某次穿过零点后出现多个极点：
某次穿过零点后出现多个极点
第二，上下包络线要对称，比如：
上下包络线对称
而不能像如下这样，上下包络线不对称
1.3 emd 分解的基本假设
信号至少有两个极值点：一个极大值点和一个极小值点；特征时间尺度由极值之间的时间间隔定义；如果数据完全没有极值，但只包含拐点，那么可以一次或多次划分来揭示极值点，最终的结果可以通过积分得到2 emd分解的基本原理和步骤
emd的分解过程是一个迭代的过程。首先，对原始信号进行极值点的提取，然后通过连接极值点的均值得到第一轮的近似imf（也叫做“本征模态”）。接下来，将这个近似imf从原始信号中减去，得到一个新的信号，然后对这个新信号再次进行极值点提取和均值连接，得到第二轮的近似imf。如此往复，直到得到的近似imf满足某种停止准则。
对于原始信号 x(t)
第一步，极值点提取：
从待分解的信号中识别局部极值点，包括局部极大值和局部极小值。极值点是信号中的局部特征，能够帮助刻画信号的振荡特性。
第二步，构建上下包络线：
通过连接相邻的局部极大值和局部极小值，构建信号的上包络线和下包络线。上包络线 u(t) 由局部极大值连接而成，下包络线 l(t) 由局部极小值连接而成。包络线用于描述信号的振荡范围。
第三步，提取均值函数：
计算上包络线和下包络线的平均值，得到均值函数 m1。将原始信号减去均值函数，得到一维信号 h1。
m1 = ( u(t) + l(t) ) / 2
h1 = x(t) - m1
第四步，迭代分解：
对减去均值函数后的一维信号 h1，重复步骤1-3的过程，直到得到的剩余信号为“单调信号”，或者满足imf的两个假设条件。迭代k次的imf为
hk = h(k-1) - mk
第五步，确定本征模态函数（imf）：
在每一次迭代中，通过极值点提取、构建包络线等步骤，得到的剩余信号被称为一个本征模态函数（imf）。imf具有局部特征，并且代表了信号在不同尺度上的振荡模式。使用上述方法得到的第一个imf记为c1, 然后将c1从原始信号中分离，得到
r1 = x(t) - c1
由于r1仍然包含大量信息，因此将r1作为新的原始信号，再通过步骤1-4的分析，可以得到imf2，以此类推，得到
r1 - c2 = r2,... ..., r(n-1) -cn = rn
当cn或rn小于某一设定值，或者得到的剩余信号为“单调信号”，无法提取更多的imf时，迭代终止，得到最终的分解结果为：
第六步，重构信号：
将得到的imf函数进行逐个提取，直到无法再得到新的imf为止。最终得到的imf函数可以被看作是信号在不同时间尺度上的振荡模式，它们的组合可以重构原始信号。
这些基本步骤构成了emd方法的核心流程，通过这些步骤，emd可以将复杂的信号分解成不同尺度和频率的本征模态函数，从而揭示信号的局部特征和振荡模式。
3 基于python的emd实现
在 python 中，使用 pyemd 库来实现经验模态分解（emd）
2.1 代码示例
import numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltfrom pyemd import emd# 生成一个示例信号t = np.linspace(0, 1, 1000)s = np.sin(11*2*np.pi*t*t) + 6*t*t# 创建 emd 对象emd = emd()# 对信号进行经验模态分解imfs = emd(s)# 绘制原始信号和每个本征模态函数（imf）plt.figure(figsize=(15,10))plt.subplot(len(imfs)+1, 1, 1)plt.plot(t, s, 'r')plt.title(original signal)for num, imf in enumerate(imfs): plt.subplot(len(imfs)+1, 1, num+2) plt.plot(t, imf) plt.title(imf +str(num+1))plt.show()
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import numpy as npfrom scipy.io import loadmatimport matplotlib.pyplot as pltimport matplotlibmatplotlib.rc(font, family='microsoft yahei')# 读取mat文件data = loadmat('21_2.mat') # 0.021英寸 滚珠# 注意，读取出来的data是字典格式，可以通过函数type(data)查看。第二步，数据集中读取 驱动端加速度数据，取一个长度为1024的信号进行后续观察和实验
# de - drive end accelerometer data 驱动端加速度数据data_list = data['x222_de_time'].reshape(-1)# 划窗取值（大多数窗口大小为1024）data_list = data_list3[0:1024]# 进行数据可视化plt.figure(figsize=(20,10))plt.plot(data_list)plt.title(滚珠)plt.show()
2.2.2 滚珠故障信号emd分解
import numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltfrom pyemd import emdt = np.linspace(0, 1, 1024)data = np.array(data_list)# 创建 emd 对象emd = emd()# 对信号进行经验模态分解imfs = emd(data)# 绘制原始信号和每个本征模态函数（imf）plt.figure(figsize=(15,10))plt.subplot(len(imfs)+1, 1, 1)plt.plot(t, data, 'r')plt.title(original signal, fontsize=10)for num, imf in enumerate(imfs): plt.subplot(len(imfs)+1, 1, num+2) plt.plot(t, imf) plt.title(imf +str(num+1), fontsize=10) # 增加第一排图和第二排图之间的垂直间距plt.subplots_adjust(hspace=0.4, wspace=0.2)plt.show()
2.3 信号分量的处理
通过经验模态分解（emd）得到了信号的分量，可以进行许多不同的分析和处理操作，以下是一些常见的对分量的利用方向：
（1）信号重构：将分解得到的各个本征模态函数（imf）相加，可以重构原始信号。这可以用于验证分解的效果，或者用于信号的重建和恢复。
（2）去噪：对于复杂的信号，可能存在噪声或干扰成分。通过分析各个imf的频率和振幅，可以识别和去除信号中的噪声成分。
（3）频率分析：分析每个imf的频率成分，可以帮助理解信号在不同频率上的振荡特性，从而揭示信号的频域特征。
（4）特征提取：每个imf代表了信号的局部特征和振荡模式，可以用于提取信号的特征，并进一步应用于机器学习或模式识别任务中。
（5）信号预测：通过对分解得到的各个imf进行分析，可以探索信号的未来趋势和发展模式，从而用于信号的预测和预测建模。
（6）模式识别：分析每个imf的时域和频域特征，可以帮助对信号进行模式识别和分类，用于识别信号中的不同模式和特征。
（7）异常检测：通过分析每个imf的振幅和频率特征，可以用于探测信号中的异常或突发事件，从而用于异常检测和故障诊断。
在得到了信号的分量之后，可以根据具体的应用需求选择合适的分析和处理方法，以实现对信号的深入理解、特征提取和应用。对于后续的研究，主要利用imf分类来对故障信号做模式识别，即故障分类。
DC/DC转换器评估篇 损耗探讨-小结
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