浅谈PID微分器与滤波器
0 前面的话
这篇文章肝了好久，控制有时候给人的感觉是披着数学外衣的，但是脱下外衣，发现还是控制，本文有一些基本的推导，无非是为最后的算法c实现做铺垫，最终目的是能在实践中进行应用和系统调优。
目录
0 前面的话
目录
1 先说噪声
2 噪声对于系统的影响
3 对于pid控制器的影响
4 加入滤波器
4.1 传递函数
4.2 串联微分的等效形式反馈积分
5 c语言实现
6 参考
1 先说噪声
在电子设备等电路系统中，噪声是不被系统需要的电信号；电子设备产生的噪声会由于多种不同的影响而产生很大的差异。在通信系统中，噪声是一个错误或不希望出现的随机干扰从而作用于有效的信号。
2 噪声对于系统的影响
噪声出现的第一个场景，当我们在教室里做英语听力，然后旁边的同学手机忽然来了一条短信，这时候往往可以听到放英语听力的喇叭会被干扰，然后会发出哔哔哔的声音；
下面是一个正弦信号跌加噪声的例子，在原始信号上叠加一定幅度的高斯噪声，可以看到信号不再像原来的正弦信号那样完美，具体如下图所示；
或者，很久很久以前，数字电视还没有普及，那时候的显像管的黑白电视，也容易出现这样的雪花一样的噪声，叠加在图片上就会出现这样的效果，具体如下图所示；
从上述的例子中可以看到，噪声往往会对系统造成一定程度的影响，但是如果噪声的幅度减小到一定程度，对于系统的影响可能就没有那么容易被发现。
下面做一个实验；在一张黑色图片上叠加幅度很小幅度的高斯噪声；从第二张图片中发现噪声没有影响到整体图片；
然后我尝试提高了整幅图片的亮度，发现，噪点便开始出来了，这像极平时那些枪版影片的马赛克画质；整体的实验结果如下图所示；
3 对于pid控制器的影响
既然噪声的幅度减小到一定程度，对于系统的影响可能就没有那么容易被发现，那么对理想的pid控制器又有什么影响呢？
不要忘了，在理想pid控制器中，微分控制器会对偏差的变化率（斜率）进行累加，从而产生积分器的输出；
对于微分器来说，即使噪声幅度足够小，但是只要达到足够高频率，偏差的变化率一样可以变得很大，下面举个例子；
这里有一个固定频率和赋值的噪声为信号1，这个信号可以表示为：
于是我们尝试将信号1的幅度减半，频率变为原来的两倍，得到了信号2：
以此类推，在信号2的基础上，幅度再减半，频率乘以2，得到信号3：
简单画了一下这个信号，具体如下图所示；
假设分别取三个信号位于该点的斜率，从图中可以看到，斜率1，斜率2，斜率3是相同的，简单验证一下，在时刻，可以得到：
所以这里就是求复合函数的微分，由于选取的点比较特殊，发现最终计算得到的结果，因此也可以发现，即使减小了噪声的幅度，但是对于较高频率的噪声，依然会产生较大斜率。
遇到高频噪声，那么微分器会产生较大的输出，从而最终对系统造成影响，这是我们不希望出现的结果，因此在反馈回路中并不希望高频噪声进入pid控制器的计算，这里就需要低通滤波器将噪声滤除。
4 加入滤波器
低通滤波器可以滤除高频信号，这样保留了有效信号，可以设置所需的截止频率；系统处理有效信号，由于低频部分信噪比较高，因此噪声对于系统的影响较小，而高频部分，信噪比就很低，这时候对于系统来说，噪声就会造成不小的影响，具体如下图所示；
信噪比：有效信号和噪声的比值，英文名称叫做snr或s/n（signal-noise ratio)；
所以下面我们会在pid控制器的微分部分加入低通滤波器，这样对反馈的信号进行一部分处理，从而减小系统干扰，如下图所示；
4.1 传递函数
概念：拉普拉斯变换是对于 函数值不为零的连续时间函数 通过关系式 (式中为自然对数底的指数)变换为复变量的函数。它也是时间函数的“复频域”表示方式。
也就是说拉式变换可以将时域关系变换到频域中，这样可以便于系统进行分析。
下面是本文下面会用到的时域函数对应的拉普拉斯变换：
积分：
微分：
低通滤波器的传递函数：
低通滤波器中的截止频率即为，单位是；
4.2 串联微分的等效形式反馈积分
串联等效传递函数的关系为，两个方框串联等于各个方框传递函数的乘积；具体如下所示；
因此低通滤波串联微分的传递函数为：
闭环负反馈的等效传递函数的关系如下所示；
这里我们可以使用负反馈积分的方式，构建等效于串联微分的传递函数，最终的传递函数结果是相同的，具体如下图所示；
串联微分的形式，可能在算法的实现上会更加直观，但是会比较费资源；
使用负反馈积分的等效形式进行实现，则进一步减少了算法的资源消耗，下面给出一个ti公司的pid算法实现就是通过负反馈积分的等效形式进行实现的。
5 c语言实现
这里直接使用了ti公司的pid算法，对于微分部分做了滤波的处理，并且使用的是负反馈积分的方式，具体可以参考controlsuitelibsapp_libsmotor_controlmath_blocksv4.2pid_grando.hpid控制器的整体框图如下所示，我们只关心微分部分；
首先可以发现满足：
这里滤波器有两个系数和，它们必须满足截止频率（单位hz）和采样周期（单位秒）以下的关系：
c语言实现如下：
/*================================================================================= filename:pid_grando.h ===================================================================================*/ #ifndef__pid_h__ #define__pid_h__ typedefstruct{_iqref;//input:referenceset-point _iqfbk;//input:feedback _iqout;//output:controlleroutput _iqc1;//internal:derivativefiltercoefficient1 _iqc2;//internal:derivativefiltercoefficient2 }pid_terminals; //note:c1&c2placedheretokeepstructuresizeunder8words typedefstruct{_iqkr;//parameter:referenceset-pointweighting _iqkp;//parameter:proportionalloopgain _iqki;//parameter:integralgain _iqkd;//parameter:derivativegain _iqkm;//parameter:derivativeweighting _iqumax;//parameter:uppersaturationlimit _iqumin;//parameter:lowersaturationlimit }pid_parameters; typedefstruct{_iqup;//data:proportionalterm _iqui;//data:integralterm _iqud;//data:derivativeterm _iqv1;//data:pre-saturatedcontrolleroutput _iqi1;//data:integratorstorage:ui(k-1) _iqd1;//data:differentiatorstorage:ud(k-1) _iqd2;//data:differentiatorstorage:d2(k-1) _iqw1;//data:saturationrecord:[u(k-1)-v(k-1)] }pid_data; typedefstruct{pid_terminalsterm; pid_parametersparam; pid_datadata; }pid_controller; /*----------------------------------------------------------------------------- defaultinitalisationvaluesforthepidobjects -----------------------------------------------------------------------------*/ #definepid_term_defaults{ 0, 0, 0, 0, 0 } #definepid_param_defaults{ _iq(1.0), _iq(1.0), _iq(0.0), _iq(0.0), _iq(1.0), _iq(1.0), _iq(-1.0) } #definepid_data_defaults{ _iq(0.0), _iq(0.0), _iq(0.0), _iq(0.0), _iq(0.0), _iq(0.0), _iq(0.0), _iq(1.0) } /*------------------------------------------------------------------------------ pidmacrodefinition ------------------------------------------------------------------------------*/ #definepid_macro(v) /*proportionalterm*/ v.data.up=_iqmpy(v.param.kr,v.term.ref)-v.term.fbk; /*integralterm*/ v.data.ui=_iqmpy(v.param.ki,_iqmpy(v.data.w1, (v.term.ref-v.term.fbk)))+v.data.i1; v.data.i1=v.data.ui; /*derivativeterm*/ v.data.d2=_iqmpy(v.param.kd,_iqmpy(v.term.c1, (_iqmpy(v.term.ref,v.param.km)-v.term.fbk)))-v.data.d2; v.data.ud=v.data.d2+v.data.d1; v.data.d1=_iqmpy(v.data.ud,v.term.c2); /*controloutput*/ v.data.v1=_iqmpy(v.param.kp, (v.data.up+v.data.ui+v.data.ud)); v.term.out=_iqsat(v.data.v1,v.param.umax,v.param.umin); v.data.w1=(v.term.out==v.data.v1)?_iq(1.0):_iq(0.0); #endif//__pid_h__
6 参考
https://en.wikipedia.org/wiki/low-pass_filter
自动控制原理 第五版 胡寿松 p47
虽然写的不一定是最好，但是每一个字、每一个公式都是用心码的，每一张图都是用心画的，每一句话都是加入了自己的理解；另外笔者能力有限，文中难免存在错误和纰漏，望轻拍指正。
原文标题：pid微分器与滤波器的爱恨情仇
文章出处：【微信公众号：传感器技术】欢迎添加关注！文章转载请注明出处。
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这篇文章肝了好久，控制有时候给人的感觉是披着数学外衣的，但是脱下外衣，发现还是控制，本文有一些基本的推导，无非是为最后的算法c实现做铺垫，最终目的是能在实践中进行应用和系统调优。
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0 前面的话
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1 先说噪声
2 噪声对于系统的影响
3 对于pid控制器的影响
4 加入滤波器
4.1 传递函数
4.2 串联微分的等效形式反馈积分
5 c语言实现
6 参考
1 先说噪声
在电子设备等电路系统中，噪声是不被系统需要的电信号；电子设备产生的噪声会由于多种不同的影响而产生很大的差异。在通信系统中，噪声是一个错误或不希望出现的随机干扰从而作用于有效的信号。
2 噪声对于系统的影响
噪声出现的第一个场景，当我们在教室里做英语听力，然后旁边的同学手机忽然来了一条短信，这时候往往可以听到放英语听力的喇叭会被干扰，然后会发出哔哔哔的声音；
下面是一个正弦信号跌加噪声的例子，在原始信号上叠加一定幅度的高斯噪声，可以看到信号不再像原来的正弦信号那样完美，具体如下图所示；
或者，很久很久以前，数字电视还没有普及，那时候的显像管的黑白电视，也容易出现这样的雪花一样的噪声，叠加在图片上就会出现这样的效果，具体如下图所示；
从上述的例子中可以看到，噪声往往会对系统造成一定程度的影响，但是如果噪声的幅度减小到一定程度，对于系统的影响可能就没有那么容易被发现。
下面做一个实验；在一张黑色图片上叠加幅度很小幅度的高斯噪声；从第二张图片中发现噪声没有影响到整体图片；
然后我尝试提高了整幅图片的亮度，发现，噪点便开始出来了，这像极平时那些枪版影片的马赛克画质；整体的实验结果如下图所示；
3 对于pid控制器的影响
既然噪声的幅度减小到一定程度，对于系统的影响可能就没有那么容易被发现，那么对理想的pid控制器又有什么影响呢？
不要忘了，在理想pid控制器中，微分控制器会对偏差的变化率（斜率）进行累加，从而产生积分器的输出；
对于微分器来说，即使噪声幅度足够小，但是只要达到足够高频率，偏差的变化率一样可以变得很大，下面举个例子；
这里有一个固定频率和赋值的噪声为信号1，这个信号可以表示为：
于是我们尝试将信号1的幅度减半，频率变为原来的两倍，得到了信号2：
以此类推，在信号2的基础上，幅度再减半，频率乘以2，得到信号3：
简单画了一下这个信号，具体如下图所示；
假设分别取三个信号位于该点的斜率，从图中可以看到，斜率1，斜率2，斜率3是相同的，简单验证一下，在时刻，可以得到：
所以这里就是求复合函数的微分，由于选取的点比较特殊，发现最终计算得到的结果，因此也可以发现，即使减小了噪声的幅度，但是对于较高频率的噪声，依然会产生较大斜率。
遇到高频噪声，那么微分器会产生较大的输出，从而最终对系统造成影响，这是我们不希望出现的结果，因此在反馈回路中并不希望高频噪声进入pid控制器的计算，这里就需要低通滤波器将噪声滤除。
4 加入滤波器
低通滤波器可以滤除高频信号，这样保留了有效信号，可以设置所需的截止频率；系统处理有效信号，由于低频部分信噪比较高，因此噪声对于系统的影响较小，而高频部分，信噪比就很低，这时候对于系统来说，噪声就会造成不小的影响，具体如下图所示；
信噪比：有效信号和噪声的比值，英文名称叫做snr或s/n（signal-noise ratio)；
所以下面我们会在pid控制器的微分部分加入低通滤波器，这样对反馈的信号进行一部分处理，从而减小系统干扰，如下图所示；
4.1 传递函数
概念：拉普拉斯变换是对于 函数值不为零的连续时间函数 通过关系式 (式中为自然对数底的指数)变换为复变量的函数。它也是时间函数的“复频域”表示方式。
也就是说拉式变换可以将时域关系变换到频域中，这样可以便于系统进行分析。
下面是本文下面会用到的时域函数对应的拉普拉斯变换：
积分：
微分：
低通滤波器的传递函数：
低通滤波器中的截止频率即为，单位是；
4.2 串联微分的等效形式反馈积分
串联等效传递函数的关系为，两个方框串联等于各个方框传递函数的乘积；具体如下所示；
因此低通滤波串联微分的传递函数为：
闭环负反馈的等效传递函数的关系如下所示；
这里我们可以使用负反馈积分的方式，构建等效于串联微分的传递函数，最终的传递函数结果是相同的，具体如下图所示；
串联微分的形式，可能在算法的实现上会更加直观，但是会比较费资源；
使用负反馈积分的等效形式进行实现，则进一步减少了算法的资源消耗，下面给出一个ti公司的pid算法实现就是通过负反馈积分的等效形式进行实现的。
5 c语言实现
这里直接使用了ti公司的pid算法，对于微分部分做了滤波的处理，并且使用的是负反馈积分的方式，具体可以参考controlsuitelibsapp_libsmotor_controlmath_blocksv4.2pid_grando.hpid控制器的整体框图如下所示，我们只关心微分部分；
首先可以发现满足：
这里滤波器有两个系数和，它们必须满足截止频率（单位hz）和采样周期（单位秒）以下的关系：
c语言实现如下：
/*================================================================================= filename:pid_grando.h ===================================================================================*/ #ifndef__pid_h__ #define__pid_h__ typedefstruct{_iqref;//input:referenceset-point _iqfbk;//input:feedback _iqout;//output:controlleroutput _iqc1;//internal:derivativefiltercoefficient1 _iqc2;//internal:derivativefiltercoefficient2 }pid_terminals; //note:c1&c2placedheretokeepstructuresizeunder8words typedefstruct{_iqkr;//parameter:referenceset-pointweighting _iqkp;//parameter:proportionalloopgain _iqki;//parameter:integralgain _iqkd;//parameter:derivativegain _iqkm;//parameter:derivativeweighting _iqumax;//parameter:uppersaturationlimit _iqumin;//parameter:lowersaturationlimit }pid_parameters; typedefstruct{_iqup;//data:proportionalterm _iqui;//data:integralterm _iqud;//data:derivativeterm _iqv1;//data:pre-saturatedcontrolleroutput _iqi1;//data:integratorstorage:ui(k-1) _iqd1;//data:differentiatorstorage:ud(k-1) _iqd2;//data:differentiatorstorage:d2(k-1) _iqw1;//data:saturationrecord:[u(k-1)-v(k-1)] }pid_data; typedefstruct{pid_terminalsterm; pid_parametersparam; pid_datadata; }pid_controller; /*----------------------------------------------------------------------------- defaultinitalisationvaluesforthepidobjects -----------------------------------------------------------------------------*/ #definepid_term_defaults{ 0, 0, 0, 0, 0 } #definepid_param_defaults{ _iq(1.0), _iq(1.0), _iq(0.0), _iq(0.0), _iq(1.0), _iq(1.0), _iq(-1.0) } #definepid_data_defaults{ _iq(0.0), _iq(0.0), _iq(0.0), _iq(0.0), _iq(0.0), _iq(0.0), _iq(0.0), _iq(1.0) } /*------------------------------------------------------------------------------ pidmacrodefinition ------------------------------------------------------------------------------*/ #definepid_macro(v) /*proportionalterm*/ v.data.up=_iqmpy(v.param.kr,v.term.ref)-v.term.fbk; /*integralterm*/ v.data.ui=_iqmpy(v.param.ki,_iqmpy(v.data.w1, (v.term.ref-v.term.fbk)))+v.data.i1; v.data.i1=v.data.ui; /*derivativeterm*/ v.data.d2=_iqmpy(v.param.kd,_iqmpy(v.term.c1, (_iqmpy(v.term.ref,v.param.km)-v.term.fbk)))-v.data.d2; v.data.ud=v.data.d2+v.data.d1; v.data.d1=_iqmpy(v.data.ud,v.term.c2); /*controloutput*/ v.data.v1=_iqmpy(v.param.kp, (v.data.up+v.data.ui+v.data.ud)); v.term.out=_iqsat(v.data.v1,v.param.umax,v.param.umin); v.data.w1=(v.term.out==v.data.v1)?_iq(1.0):_iq(0.0); #endif//__pid_h__
6 参考
https://en.wikipedia.org/wiki/low-pass_filter
自动控制原理 第五版 胡寿松 p47
虽然写的不一定是最好，但是每一个字、每一个公式都是用心码的，每一张图都是用心画的，每一句话都是加入了自己的理解；另外笔者能力有限，文中难免存在错误和纰漏，望轻拍指正。
原文标题：pid微分器与滤波器的爱恨情仇
文章出处：【微信公众号：传感器技术】欢迎添加关注！文章转载请注明出处。
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