浅析STAR-CCM+多重网格法

随着网格尺寸的增加，雅可比、高斯-赛德尔或 ilu（不完全 lu）等传统迭代求解算法的收敛速度明显降低。反过来，收敛缓慢会导致计算时间呈二次性增加。为加速求解器收敛，采用代数多重网格 (amg) 法。多重网格法的概念基于以下事实：迭代求解算法可有效减少其波长对应于网格单元尺寸（高频误差）的数值误差分量。但对于此类方法，长波长（低频）误差的降幅相当缓慢。
在连续粗糙化的线性系统的层次结构上，多重网格法通过迭代过程减少低频误差。代数多重网格衍生粗糙层方程组，而不参考基础网格几何。粗糙网格方程从精细网格系数的算术组合衍生得出。几次迭代之后，多重网格算法将计算从精细线性系统传递到粗糙线性系统。这些迭代也称为平滑迭代，因为误差函数稍后将会平滑（即不含误差的高频分量）。
由于求解过程传递到更粗糙的线性系统，因此误差现在相对网格单元尺寸而言频率增高并可有效减少。在更粗糙的线性系统上，为减少精细线性系统求解的误差，定义了缺陷方程。多重网格算法采用以下步骤：
聚结网格单元，形成粗糙网格级别。将残差从精细级别传递到更粗糙的级别（称为限制）。将校正从粗糙级别传递回更精细的级别（称为延长）。多重网格循环多重网格方法支持通过在粗糙网格序列上使用简单校正扫掠，显著加速高斯-赛德尔等基本迭代格式的运行。粗糙级别访问策略可能会对该算法的效率产生很大的影响。amg中有两个循环策略，即固定和可变：
固定循环
完整的多重网格循环表示递归应用由以下步骤组成的单一循环：
a) （预）平滑；b) 限制；c) 再循环；d) 延长；e) （后）平滑。这些步骤将应用于一系列连续粗糙化的网格或方程组。平滑表示将任意数量的迭代松弛扫掠应用于当前精细级别上的方程，计算一组新校正。限制是指将现有残差向下传递到应用了新循环的下一个最粗糙级别。随后，结果校正将延长，即传递回同样应用了平滑的当前精细级别。有以下三种类型的固定循环：
f 固定循环v 固定循环w 固定循环可变循环
对于非刚性线性系统，此类循环是一种更经济的循环策略。每次在给定网格级别上扫掠后都会监视残差，而非按规则模式使用所有多重网格级别。如果残差减少率超出给定阈值，会继续在更粗糙的级别上求解。如果给定级别上的残差降幅超过指定阈值，则求解将转到更精细的级别。任何级别允许的扫掠数将进一步受到限制。v 循环v 循环是最简单的固定循环类型，只有两个分支。在第一个分支中，用户对最精细的级别执行大量松弛扫掠并将残差传递到下一个级别。然后，对粗糙级别相继重复该操作，直至达到最粗糙的级别为止。粗糙“网格”通常仅包含几个“网格单元”。在最粗糙的级别上完成扫掠之后，使用得到的解校正下一个更精细级别上的求解。先在该级别执行一些松弛扫掠，然后重复此过程，直至达到最精细的级别为止，图显示了此过程。
w 循环
对于刚性方程组，v 循环有时不能满足需要，进行更多粗糙迭代非常有用。w循环会增加粗糙松弛扫掠数，如图所示。
f 循环f循环是w循环的一种变体，此循环如图示，涉及的粗糙级别扫掠数少于w循环，但仍多于 v 循环。