聊聊s域和z域之间的转换
之前跟大家聊过cdr、tx ffe均衡和sdm，他们的传函都是z域的，对于模拟ic工程师而言，更喜欢在s域用bode图来分析稳定性问题，本期跟大家聊聊s域和z域之间的转换。
1. z平面到s****平面的映射
fig1. s平面到z平面的映射关系
由上面的推导及映射关系可得到如下结论：
①s平面左半平面（σ0）映射到z平面的单位圆外
③s平面虚轴（σ=0）映射到z平面的单位圆上
④s平面虚轴从负无穷到正无穷每间隔fs或ω s ，z平面单位圆旋转一周
⑤稳定系统要求s平面的σ0时为增函数，系统不稳定。因此稳定系统要求所有极点中的σ项小于0（或者所有极点落在单位圆内）。
3. z****域稳定性分析
3.1 cdr****环路分析
替换前cdr的z域传函：
替换后cdr的s域传函：
3.2 sdm****分析
fig2. 三阶单环前馈sdm z域模型
fig3. 三阶单环前馈sdm噪声传函的零极点分布
fig4. 一阶/二阶泰勒等效和freqz函数得到的幅频特性曲线
三阶单环前馈sdm噪声传函，一阶/二阶泰勒等效和freqz函数得到的幅频特性曲线的matlab code如下：
clear all;close all;clc;
fs=100e6;ts=1/fs;
% p=logspace(0,6);
p = bodeoptions; % set frequency units tohz in options
p.frequnits = 'hz'; % create plot withthe options specified by p
%%%%%%second order taylor series expansion%%%%%%
num_second_order_taylor =[tststs,0,0,0];
den_second_order_taylor =[0.125tstststs,0.5tststs,0.5ts*ts,0,0.5];
ls_second_order_taylor = tf(num_second_order_taylor,den_second_order_taylor);
%%%%%%first order taylor series expansion%%%%%%
num_first_order_taylor =[tststs,0,0,0];
den_first_order_taylor =[0.5tsts,0,0.5];
ls_first_order_taylor =tf(num_first_order_taylor,den_first_order_taylor);
figure(1);
bodemag(ls_second_order_taylor,{1,2pi100000000},p,'-b');holdon;
bodemag(ls_first_order_taylor,{1,2pi100000000},p,'-g');
%%%%%%z transform%%%%%%
w=linspace(0,2*pi,1000);
numeqsingleloop=[1 -3 3 -1];%(1-z^-1)^3
densingleloop=[1 -1 0.5];%1-z^-1+0.5z^-2
heqsingleloop=freqz(numeqsingleloop,densingleloop,w);holdon;
loglog(wfs/2/pi,20log10(abs(heqsingleloop)),'-r');gridon;
legend('second order taylor seriesexpansion','first order taylor series expansion','z transform');
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fs=100e6;ts=1/fs;
% p=logspace(0,6);
p = bodeoptions; % set frequency units tohz in options
p.frequnits = 'hz'; % create plot withthe options specified by p
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num_second_order_taylor =[tststs,0,0,0];
den_second_order_taylor =[0.125tstststs,0.5tststs,0.5ts*ts,0,0.5];
ls_second_order_taylor = tf(num_second_order_taylor,den_second_order_taylor);
%%%%%%first order taylor series expansion%%%%%%
num_first_order_taylor =[tststs,0,0,0];
den_first_order_taylor =[0.5tsts,0,0.5];
ls_first_order_taylor =tf(num_first_order_taylor,den_first_order_taylor);
figure(1);
bodemag(ls_second_order_taylor,{1,2pi100000000},p,'-b');holdon;
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w=linspace(0,2*pi,1000);
numeqsingleloop=[1 -3 3 -1];%(1-z^-1)^3
densingleloop=[1 -1 0.5];%1-z^-1+0.5z^-2
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