协同定位LS模型的凸性分析
摘 要：精确的位置信息在无线传感网络（wsns）中扮演着重要地位，基于用户节点之间信息交互的协同定位可以提供高精度定位，是目前非常有前景的研究方向。传统的协同定位模型，例如最小二乘（ls）模型，依赖于从先验测量信息中得到粗略的位置估计作为迭代初值。由于代价函数一般为非凸，该模型对迭代初值的选取十分敏感，计算结果容易陷入局部极值。为了深入解释这一现象，文中通过求取最小二乘代价函数的二阶导数，同时对相应的 hessian 矩阵进行相似变换，分析了最小二乘代价函数的凸性，得出最小二乘代价函数为凸的一个充分不必要条件。同时利用数值仿真验证了当用户节点测距偏差全部为负数时，最小二乘代价函数在全局范围内为凸函数，这一结论为后续研究奠定了理论基础。
0 引 言
实时高精度位置感知在无人机技术、医疗服务、搜索救援、智能图书馆、自动驾驶等领域中有着广泛的应用［1⁃3］。近年来，作为传统无线传感网络（wirelesssensor networks，wsns）定位方法的补充，协同定位受到越来越多的关注。所谓的协同定位是指多用户节点之间的协同，与传统定位方法相比，该方法增加了用户节点之间的几何测量与通信。协同定位算法有很多，基于到达时间（time of arrival，toa）的极大似然估计模型是应用最为广泛的定位模型之一，当测距误差服从高斯分布 时 ，极 大 似 然 模型与最小二乘估计模型（leastsquare，ls）等价［4］。为了求得该模型的最优解，比较常见的算法为牛顿迭代法或高斯⁃牛顿迭代法。文献［5］给出了这两种算法的收敛性证明，指出收敛性与代价函数的凸性紧密相关，当目标函数为严格凸时（hessian矩阵正定），由牛顿算法解算ls模型为强整体二阶收敛。
划分一个优化问题难易程度的分水岭在于其代价函数是凸或者非凸［6］，而 ls 定位模型的代价函数一般为非凸，因此求解ls定位模型代价函数的全局最优解是困难的，属于np难问题，目前已有相关研究尝试对这一个问题进行解决。文献［7⁃8］对单用户定位场景下的ls 模型进行了深入分析，提出了代价函数满足全局为凸的条件。ls模型基于最小方差准则（这一准则也是其他定位模型的基础），例如极大似然、加权最小二乘、递推最小二乘等。与此同时，相比递推最小二乘，卡尔曼滤波（kalman filtering，kf）模型相当于在两次迭代之间多了状态转移步骤，其核心也是通过最小化方差求得最优估计［9］。因此，对ls定位模型的凸性进行分析具有一定的代表性，其相关结论可以通过最小方差准则推广到其他定位模型。
在协同场景中，当用户节点数量增多时，函数的局部极值点增多，使得迭代算法对初值更加敏感并导致算法不收敛。本文将对协同定位ls模型的凸性进行分析，以深入解释这一现象。
1 无约束最小二乘定位模型
1.1 节点与链路定义
在基于toa方法的定位场景中，设用户节点个数为m，用fc={t1 ， t2 ，⋯， tm}表示其编号的集合，用户节点真实坐标为xj∈rη，1≤j≤m，j∈n+，η∈n+为定位场景欧几里得空间维度。锚节点的个数为n，其编号的集合为fa={a1，a2，⋯，an}，锚节点真实坐标为si ∈rη，1≤i≤n ，i∈n+。设所有节点的集合记为ft，则ft =fa⋃fc。在定位场景中，定义任意两点之间的距离观测为一条测距链路，假设某个场景中共有 l 条测距链路，记各个链路编号的集合为l={l1 ， l2 ，⋯， ll}。定位场景中的测距链路可以分为两类：一类为用户与锚节点之间的测距链路（以下简记为 at 链路）；另一类为协同测距链路（以下简记为 tt 链路）。设所有链路距离观测值的集合记为 dt，其中 at链路距离观测值的集合记为 da，tt链路距离观测值集合记为dc，易知dt=da⋃dc，da⋂dc=∅，并且有|dt=l|，|da=n|，|dc= l - n|。令dk1k2是节点编号 k1到 k2点的真实距离，dk1k2为两点之间距离的估计值，其中 k1 ，k2 ∈ ft。
1.2 测距偏差定义
由于信号在传播过程中会受到观测噪声、多径效应以及非视距（non⁃line of sight，nlos）传播的影响，观测值不等于节点之间的真实距离，存在测距偏差。设偏差向量为ε=［ε1，ε2，⋯，εl］t∈rl，其中εi表示第i条链路上的测距偏差。在视距（line of sight，los）传播环境中，测距偏差完全由观测噪声引起，其通常满足均值为零、方差为常数的高斯分布，用εlos表示。在nlos环境中，除了噪声以外还存在一个正偏差，假设此正偏差满足均值和方差都为常数的高斯分布，用εnlos表示。基于以上假设，可以对测距偏差建模如下：
式中：
1.3 最小二乘模型定义
在非协同定位场景中，假设有m个用户节点，且任意两个用户节点之间无测距和数据交互。考虑某一用户节点tj，其位置的真实值为xj，令xj表示tj节点坐标的估计值，则有：
式中2表示两点之间的欧几里得距离。
若测距链路个数为n，分别记为l1 ， l2 ，⋯， ln，令与之相对应的距离真实值与估计值分别为di和di，且有：
式中：1≤i≤n， i∈n+；qja是与节点ti 相连接的链路个数。设距离观测值为ρi∈da ， 1≤i≤n， i∈n+，如果考虑偏差的存在，由定义可知，距离观测值与真实距离之间的关系为：
那么非协同场景中无约束ls估计模型可以表示成如下形式：
在非协同场景中，设tj节点真实坐标和坐标估计值分别为xj和xj，那么有：
设测距链路有l条，分别记为l1 ， l2 ，⋯，ln，与之相对应的距离真实值与估计值分别记为di和di 。若1≤i≤n，li为at链路，按照式（3）对di和di 进行赋值。若n《i≤l，li为tt链路，按照式（7）进行赋值：
式中：qjc是链路端点为tj tk且满足k》j的tt链路个数，tk∈uj，k》j，j≥2，uj为与tj之间存在测距链路的用户节点的集合，其元素下标按由小到大的顺序进行排列。令tk为 uj中第g个元素，且 g的值按照式（8）进行计算：
设ρi∈dt， 1≤i≤l， i∈n+ 为距离观测值，其与真实距离之间的关系满足式（4）。在此基础上构建协同场景无约束ls模型为：
在本文中统一称fs和fc为ls定位代价函数并且将其记为f。
2 模型的非凸性分析
2.1 非协同定位场景分析
为了便于分析且不失一般性，本文选取η=2。由凸分析相关理论可知，函数的凸性与其hessian矩阵密切相关，并且有如下定理成立：
定理1［6］：函数为凸的二阶条件。假设x的函数f二阶可微，定义域domf为凸集且hessian矩阵存在，则函数在domf中为凸的充要条件为：对于∀x∈domf，其hessian矩阵为半正定矩阵。
首先求取代价函数fs的梯度（一阶微分）和hessian矩阵（二阶微分），计算结果分别如下：
运用定理1可以得出以下推论：推论1：当ls代价函数的dom fs为r2时，其定义域为凸集。令∇2x1≽0，设满足此条件的所有x1的集合为a，则当x1∈a时，fs为凸函数。
上述推论给出了ls代价函数为凸的一个充分必要条件。∇2x1为实对称矩阵，关于实对称矩阵有以下两个引理成立：
引理 1［10］：实对称矩阵的特征值均为实数。
引理 2［10］：实对称矩阵是半正定矩阵的充要条件为其所有特征值非负。
由引理2可知，对∇2x1半正定的判断可以转化为对其特征值正负的判断。设j=∇2x1，j∈r2 × 2，令jij 为j 中各个元素，设j的特征值为λ，其特征多项式为：
令g=0，可以得到特征多项式方程为：
式（13）为一元二次方程，由引理1可知，此方程必存在2个实根，即根的判别式δ≥0恒成立，函数2个非负实根的充分必要条件为：
推论2：所有满足不等式组（14）条件的x1的集合为a。
推论2是ls代价函数为凸的一个等价条件。然而，由于不等式组（14）的非线性特征，使得对该不等式组分析变得比较困难。下面将针对一类特殊的情况进行讨论，并且作出简要证明。
命题1：存在一个集合c，若该集合中所有估计值x1均满足di-ρi ≥ 0，则在此集合中最小二乘代价函数fs为凸，且满足c⊆a。
引理3：有限个半正定矩阵的和仍为半正定矩阵。即若ri≽0， 1≤i≤n， i∈n+，则有w=∑i=1n，ri ≽ 0。
考虑对j进行分解，并且令j =∑i =1nqi
其中：
对qi求特征值，令：
化简得：
因式分解可求得λ的2个根分别为：
从式（18）中可以看出，矩阵qi有2个特征向量，其中λ1》0 恒成立，所以当λ2=di-ρi ≥0时，qi ≽0。由引理3易知，当di-ρi≥0， 1≤i≤n， i∈n+ 成立时，j≽0。所有满足此条件的估计值x1的集合即为c。
命题1实际上是fs局部为凸的一个充分不必要条件，fs的非凸区间会随着εi 的增大而减小，且当满足εi》0的测距链路数量增多时，fs的非凸性也会增强。
2.2 协同定位场景分析
在协同场景中，测距链路由at链路和tt链路两部分组成。受引理3的启发，将fc的 hessian矩阵j分解为若干个子矩阵qi，每一个qi 实际上是一个与估计值相关的函数f（di）=（di-ρi2），子矩阵中的各个元素为f（di）对用户节点坐标的二阶偏导。在2.1节中，证明了当li为at链路时满足命题1，接下来说明当li为tt链路也具有类似于命题1的性质。为了便于分析，选取协同场景中的某一条tt链路lk，记此链路两端的用户节点为tm，tn。其估计值分别为（xm，ym），（xn，yn），测距观测值为ρk，此时ls代价函数为：
分别对xm，xn，ym，yn求偏导，可得梯度向量（一阶微分）为：
则hessian矩阵为：
求取j 的特征值，通过计算可以求得其特征多项式为：
可以解得其4个特征值分别为：
由式（23）可知，当dk-ρk≥0时，j≽0。接下来做进一步地推广，证明当ls代价函数中同时具有两种测距链路时，这一性质仍然不变。
设协同场景中有m个用户节点，记fc的hessian矩阵为j ，易知j∈r2m×2m 。对j进 行分解，并且令j=∑i=1lqi。其中，qi 为每一个测距链路对应的hessian矩阵。
引理4［11］：相似矩阵具有相同的特征值。
若测距链路位于锚节点与待定位节点之间，则qi的元素位于对角线和与之相邻的位置上，且元素的个数为4，将 qi 中的4个元素全部平移至左上角。设变换后的矩阵为qi′，易知 qi 与 q i′ 为相似矩阵。由引理4可知qi 与qi′具有相同的特征值。设gi′=λi-qi′，为了求取g ′的特征值，对g ′作如下分块：
式中：中第k行l列元素。
由分块矩阵行列式定理可知［11］：
令|gi′|=0，由非协同场景分析可知，|g11|=0的2个解分别为λ=1和λ=di-ρidi，|gi′| 0的剩余（2m-2）个解均为 0。因此，当di -ρi≥0时，qi≽0。
若测距链路位于两个待定位节点之间，易知qi 中的元素个数为16个，将其中各个元素全部平移至左上角，将其记为qi′，设gi′=λi-qi′。同样地，对gi′进行分块：
式中：
gkl为gi′中第k行l列元素。
由分块矩阵行列式定理可知：
令|gi |=0。由协同链路分析可知，|g11|的特征值有4个，分别为λ1=λ2=0，λ3=4以及 λ4=4di-ρidi，|gk′|=0 剩余（2m-4）个解均为0。因此，当di-ρi≥0时，qi≽0。
命题1指出，在满足di-ρi≥0这一条件时，总可以找到合适的区间，在区间中ls代价函f为凸。
命题2：对于∀i ， 若di-ρi≥0在x̂=［x1，x2，⋯， xm ］t∈r2m上恒成立，则f在r2m上为凸函数。
命题2是ls代价函数全局为凸的一个充分不必要条件。在实际场景中，当测距偏差大于 0时，距离观测值ρi为正，在此情况下不满足全局为凸的条件，若εi≤-di，则ρi≤0，此时di-ρi≥0恒成立，fs在全局范围内为凸。
3 仿真验证
3.1 仿真场景设定
在二维平面内建立笛卡尔坐标系，表1给出了非协同与协同场景各个锚节点的平面坐标。本节将对三种偏差环境进行仿真，分别为nlos环境、los环境以及测距偏差为负的情形。每一个场景在各种情况下的偏差大小如表2和表3所示。
3.2 凸性验证
首先对fs作全局仿真。考虑测距误差不同的情况下代价函数fs的凸性，作出其函数图像、hessian矩阵j的正定图像以及选取不同初值的迭代情况，仿真结果如图1~图3所示。
图1分别显示了nlos环境、los环境以及测距偏差为负的环境下ls代价函数图像。
图2分别显示了二维平面中各个点hessian矩阵j的半正定情况，其中红色部分表示j≽0，蓝色部分表示j≼0，绿色部分表示不定。
由定理1可知，当j为半正定时，函数为凸。从图2a）中可以看出，当定位环境为 nlos 环境时，j的半正定区域不连续，不定与半负定面积总和较大，当定位环境为los环境时，j的半正定区域连续，不定与半负定面积总和较小。由命题2可知，当存在正的测距误差时，则代价函数 fs 在全局范围内为非凸，因此在上述的两个定位环境中，fs 在全局范围内均为非凸，如图1a）和图1b）所示。当测距误差为负且绝对值较大时，满足命题2中代价函数 fs 为凸的全局条件，如图1c）和图2c）所示，由j 的半正定性和fs函数图像可以看出，j在全局范围内半正定且 fs在全局范围内为凸函数。
为了说明初值选取对迭代结果的影响，从各个方向选取不同的初值，用高斯⁃牛顿迭代法进行位置解算。解算结果如图3所示，其中虚线构成的圆表示测距半径为负，其大小为距离观测值的绝对值。从仿真结果可知，在nlos环境中，ls代价函数fs为非凸函数，存在多个极值点，当初始值不同时迭代算法会收敛到不同的极小值点；在los环境中测距偏差较小，ls代价函数在全局范围内为非凸，但其极值点个数并没有增加，在这种情况下迭代算法会收敛于同一个位置，说明ls模型在los场景中适用；在偏差为负的场景中，迭代结果与初始位置无关，验证了在此情况下fs具有全局收敛的特性。
在协同场景中，选取不同的初值，利用高斯⁃牛顿迭代算法解算用户位置，仿真结果分别如图4所示。在nlos定位环境中，由于存在较大的正测距误差，使得fc在全局范围内非凸并且导致产生了多个极值点，因此不同的初始值会导致算法迭代收敛到不同的极值点上；在los定位环境中，fc在全局范围内为非凸，但正测距偏差较小，因此仍然可以收敛到相同的极值点上；在测距偏差为负的情况下，fc在全局范围内为凸，因此无论初值如何选取，其必然会收敛到全局最优解。此结果较好地验证了命题2的正确性。
4 结 语
本文对协同定位无约束ls定位模型进行了凸性分析。通过对代价函数的 hessian矩阵的分析，得出了无约束ls代价函数的一个充分不必要条件，该条件指出，当测距偏差全部为负时，无约束ls定位代价函数全局为凸。在此基础上，分别对nlos环境、los环境以及测距偏差为负环境下的ls代价函数凸性进行了仿真分析，验证了该命题的正确性。除此以外，本文提出影响最小二乘代价函数非凸性的主要因素为正测距偏差，为后续研究奠定了理论基础。
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0 引 言
实时高精度位置感知在无人机技术、医疗服务、搜索救援、智能图书馆、自动驾驶等领域中有着广泛的应用［1⁃3］。近年来，作为传统无线传感网络（wirelesssensor networks，wsns）定位方法的补充，协同定位受到越来越多的关注。所谓的协同定位是指多用户节点之间的协同，与传统定位方法相比，该方法增加了用户节点之间的几何测量与通信。协同定位算法有很多，基于到达时间（time of arrival，toa）的极大似然估计模型是应用最为广泛的定位模型之一，当测距误差服从高斯分布 时 ，极 大 似 然 模型与最小二乘估计模型（leastsquare，ls）等价［4］。为了求得该模型的最优解，比较常见的算法为牛顿迭代法或高斯⁃牛顿迭代法。文献［5］给出了这两种算法的收敛性证明，指出收敛性与代价函数的凸性紧密相关，当目标函数为严格凸时（hessian矩阵正定），由牛顿算法解算ls模型为强整体二阶收敛。
划分一个优化问题难易程度的分水岭在于其代价函数是凸或者非凸［6］，而 ls 定位模型的代价函数一般为非凸，因此求解ls定位模型代价函数的全局最优解是困难的，属于np难问题，目前已有相关研究尝试对这一个问题进行解决。文献［7⁃8］对单用户定位场景下的ls 模型进行了深入分析，提出了代价函数满足全局为凸的条件。ls模型基于最小方差准则（这一准则也是其他定位模型的基础），例如极大似然、加权最小二乘、递推最小二乘等。与此同时，相比递推最小二乘，卡尔曼滤波（kalman filtering，kf）模型相当于在两次迭代之间多了状态转移步骤，其核心也是通过最小化方差求得最优估计［9］。因此，对ls定位模型的凸性进行分析具有一定的代表性，其相关结论可以通过最小方差准则推广到其他定位模型。
在协同场景中，当用户节点数量增多时，函数的局部极值点增多，使得迭代算法对初值更加敏感并导致算法不收敛。本文将对协同定位ls模型的凸性进行分析，以深入解释这一现象。
1 无约束最小二乘定位模型
1.1 节点与链路定义
在基于toa方法的定位场景中，设用户节点个数为m，用fc={t1 ， t2 ，⋯， tm}表示其编号的集合，用户节点真实坐标为xj∈rη，1≤j≤m，j∈n+，η∈n+为定位场景欧几里得空间维度。锚节点的个数为n，其编号的集合为fa={a1，a2，⋯，an}，锚节点真实坐标为si ∈rη，1≤i≤n ，i∈n+。设所有节点的集合记为ft，则ft =fa⋃fc。在定位场景中，定义任意两点之间的距离观测为一条测距链路，假设某个场景中共有 l 条测距链路，记各个链路编号的集合为l={l1 ， l2 ，⋯， ll}。定位场景中的测距链路可以分为两类：一类为用户与锚节点之间的测距链路（以下简记为 at 链路）；另一类为协同测距链路（以下简记为 tt 链路）。设所有链路距离观测值的集合记为 dt，其中 at链路距离观测值的集合记为 da，tt链路距离观测值集合记为dc，易知dt=da⋃dc，da⋂dc=∅，并且有|dt=l|，|da=n|，|dc= l - n|。令dk1k2是节点编号 k1到 k2点的真实距离，dk1k2为两点之间距离的估计值，其中 k1 ，k2 ∈ ft。
1.2 测距偏差定义
由于信号在传播过程中会受到观测噪声、多径效应以及非视距（non⁃line of sight，nlos）传播的影响，观测值不等于节点之间的真实距离，存在测距偏差。设偏差向量为ε=［ε1，ε2，⋯，εl］t∈rl，其中εi表示第i条链路上的测距偏差。在视距（line of sight，los）传播环境中，测距偏差完全由观测噪声引起，其通常满足均值为零、方差为常数的高斯分布，用εlos表示。在nlos环境中，除了噪声以外还存在一个正偏差，假设此正偏差满足均值和方差都为常数的高斯分布，用εnlos表示。基于以上假设，可以对测距偏差建模如下：
式中：
1.3 最小二乘模型定义
在非协同定位场景中，假设有m个用户节点，且任意两个用户节点之间无测距和数据交互。考虑某一用户节点tj，其位置的真实值为xj，令xj表示tj节点坐标的估计值，则有：
式中2表示两点之间的欧几里得距离。
若测距链路个数为n，分别记为l1 ， l2 ，⋯， ln，令与之相对应的距离真实值与估计值分别为di和di，且有：
式中：1≤i≤n， i∈n+；qja是与节点ti 相连接的链路个数。设距离观测值为ρi∈da ， 1≤i≤n， i∈n+，如果考虑偏差的存在，由定义可知，距离观测值与真实距离之间的关系为：
那么非协同场景中无约束ls估计模型可以表示成如下形式：
在非协同场景中，设tj节点真实坐标和坐标估计值分别为xj和xj，那么有：
设测距链路有l条，分别记为l1 ， l2 ，⋯，ln，与之相对应的距离真实值与估计值分别记为di和di 。若1≤i≤n，li为at链路，按照式（3）对di和di 进行赋值。若n《i≤l，li为tt链路，按照式（7）进行赋值：
式中：qjc是链路端点为tj tk且满足k》j的tt链路个数，tk∈uj，k》j，j≥2，uj为与tj之间存在测距链路的用户节点的集合，其元素下标按由小到大的顺序进行排列。令tk为 uj中第g个元素，且 g的值按照式（8）进行计算：
设ρi∈dt， 1≤i≤l， i∈n+ 为距离观测值，其与真实距离之间的关系满足式（4）。在此基础上构建协同场景无约束ls模型为：
在本文中统一称fs和fc为ls定位代价函数并且将其记为f。
2 模型的非凸性分析
2.1 非协同定位场景分析
为了便于分析且不失一般性，本文选取η=2。由凸分析相关理论可知，函数的凸性与其hessian矩阵密切相关，并且有如下定理成立：
定理1［6］：函数为凸的二阶条件。假设x的函数f二阶可微，定义域domf为凸集且hessian矩阵存在，则函数在domf中为凸的充要条件为：对于∀x∈domf，其hessian矩阵为半正定矩阵。
首先求取代价函数fs的梯度（一阶微分）和hessian矩阵（二阶微分），计算结果分别如下：
运用定理1可以得出以下推论：推论1：当ls代价函数的dom fs为r2时，其定义域为凸集。令∇2x1≽0，设满足此条件的所有x1的集合为a，则当x1∈a时，fs为凸函数。
上述推论给出了ls代价函数为凸的一个充分必要条件。∇2x1为实对称矩阵，关于实对称矩阵有以下两个引理成立：
引理 1［10］：实对称矩阵的特征值均为实数。
引理 2［10］：实对称矩阵是半正定矩阵的充要条件为其所有特征值非负。
由引理2可知，对∇2x1半正定的判断可以转化为对其特征值正负的判断。设j=∇2x1，j∈r2 × 2，令jij 为j 中各个元素，设j的特征值为λ，其特征多项式为：
令g=0，可以得到特征多项式方程为：
式（13）为一元二次方程，由引理1可知，此方程必存在2个实根，即根的判别式δ≥0恒成立，函数2个非负实根的充分必要条件为：
推论2：所有满足不等式组（14）条件的x1的集合为a。
推论2是ls代价函数为凸的一个等价条件。然而，由于不等式组（14）的非线性特征，使得对该不等式组分析变得比较困难。下面将针对一类特殊的情况进行讨论，并且作出简要证明。
命题1：存在一个集合c，若该集合中所有估计值x1均满足di-ρi ≥ 0，则在此集合中最小二乘代价函数fs为凸，且满足c⊆a。
引理3：有限个半正定矩阵的和仍为半正定矩阵。即若ri≽0， 1≤i≤n， i∈n+，则有w=∑i=1n，ri ≽ 0。
考虑对j进行分解，并且令j =∑i =1nqi
其中：
对qi求特征值，令：
化简得：
因式分解可求得λ的2个根分别为：
从式（18）中可以看出，矩阵qi有2个特征向量，其中λ1》0 恒成立，所以当λ2=di-ρi ≥0时，qi ≽0。由引理3易知，当di-ρi≥0， 1≤i≤n， i∈n+ 成立时，j≽0。所有满足此条件的估计值x1的集合即为c。
命题1实际上是fs局部为凸的一个充分不必要条件，fs的非凸区间会随着εi 的增大而减小，且当满足εi》0的测距链路数量增多时，fs的非凸性也会增强。
2.2 协同定位场景分析
在协同场景中，测距链路由at链路和tt链路两部分组成。受引理3的启发，将fc的 hessian矩阵j分解为若干个子矩阵qi，每一个qi 实际上是一个与估计值相关的函数f（di）=（di-ρi2），子矩阵中的各个元素为f（di）对用户节点坐标的二阶偏导。在2.1节中，证明了当li为at链路时满足命题1，接下来说明当li为tt链路也具有类似于命题1的性质。为了便于分析，选取协同场景中的某一条tt链路lk，记此链路两端的用户节点为tm，tn。其估计值分别为（xm，ym），（xn，yn），测距观测值为ρk，此时ls代价函数为：
分别对xm，xn，ym，yn求偏导，可得梯度向量（一阶微分）为：
则hessian矩阵为：
求取j 的特征值，通过计算可以求得其特征多项式为：
可以解得其4个特征值分别为：
由式（23）可知，当dk-ρk≥0时，j≽0。接下来做进一步地推广，证明当ls代价函数中同时具有两种测距链路时，这一性质仍然不变。
设协同场景中有m个用户节点，记fc的hessian矩阵为j ，易知j∈r2m×2m 。对j进 行分解，并且令j=∑i=1lqi。其中，qi 为每一个测距链路对应的hessian矩阵。
引理4［11］：相似矩阵具有相同的特征值。
若测距链路位于锚节点与待定位节点之间，则qi的元素位于对角线和与之相邻的位置上，且元素的个数为4，将 qi 中的4个元素全部平移至左上角。设变换后的矩阵为qi′，易知 qi 与 q i′ 为相似矩阵。由引理4可知qi 与qi′具有相同的特征值。设gi′=λi-qi′，为了求取g ′的特征值，对g ′作如下分块：
式中：中第k行l列元素。
由分块矩阵行列式定理可知［11］：
令|gi′|=0，由非协同场景分析可知，|g11|=0的2个解分别为λ=1和λ=di-ρidi，|gi′| 0的剩余（2m-2）个解均为 0。因此，当di -ρi≥0时，qi≽0。
若测距链路位于两个待定位节点之间，易知qi 中的元素个数为16个，将其中各个元素全部平移至左上角，将其记为qi′，设gi′=λi-qi′。同样地，对gi′进行分块：
式中：
gkl为gi′中第k行l列元素。
由分块矩阵行列式定理可知：
令|gi |=0。由协同链路分析可知，|g11|的特征值有4个，分别为λ1=λ2=0，λ3=4以及 λ4=4di-ρidi，|gk′|=0 剩余（2m-4）个解均为0。因此，当di-ρi≥0时，qi≽0。
命题1指出，在满足di-ρi≥0这一条件时，总可以找到合适的区间，在区间中ls代价函f为凸。
命题2：对于∀i ， 若di-ρi≥0在x̂=［x1，x2，⋯， xm ］t∈r2m上恒成立，则f在r2m上为凸函数。
命题2是ls代价函数全局为凸的一个充分不必要条件。在实际场景中，当测距偏差大于 0时，距离观测值ρi为正，在此情况下不满足全局为凸的条件，若εi≤-di，则ρi≤0，此时di-ρi≥0恒成立，fs在全局范围内为凸。
3 仿真验证
3.1 仿真场景设定
在二维平面内建立笛卡尔坐标系，表1给出了非协同与协同场景各个锚节点的平面坐标。本节将对三种偏差环境进行仿真，分别为nlos环境、los环境以及测距偏差为负的情形。每一个场景在各种情况下的偏差大小如表2和表3所示。
3.2 凸性验证
首先对fs作全局仿真。考虑测距误差不同的情况下代价函数fs的凸性，作出其函数图像、hessian矩阵j的正定图像以及选取不同初值的迭代情况，仿真结果如图1~图3所示。
图1分别显示了nlos环境、los环境以及测距偏差为负的环境下ls代价函数图像。
图2分别显示了二维平面中各个点hessian矩阵j的半正定情况，其中红色部分表示j≽0，蓝色部分表示j≼0，绿色部分表示不定。
由定理1可知，当j为半正定时，函数为凸。从图2a）中可以看出，当定位环境为 nlos 环境时，j的半正定区域不连续，不定与半负定面积总和较大，当定位环境为los环境时，j的半正定区域连续，不定与半负定面积总和较小。由命题2可知，当存在正的测距误差时，则代价函数 fs 在全局范围内为非凸，因此在上述的两个定位环境中，fs 在全局范围内均为非凸，如图1a）和图1b）所示。当测距误差为负且绝对值较大时，满足命题2中代价函数 fs 为凸的全局条件，如图1c）和图2c）所示，由j 的半正定性和fs函数图像可以看出，j在全局范围内半正定且 fs在全局范围内为凸函数。
为了说明初值选取对迭代结果的影响，从各个方向选取不同的初值，用高斯⁃牛顿迭代法进行位置解算。解算结果如图3所示，其中虚线构成的圆表示测距半径为负，其大小为距离观测值的绝对值。从仿真结果可知，在nlos环境中，ls代价函数fs为非凸函数，存在多个极值点，当初始值不同时迭代算法会收敛到不同的极小值点；在los环境中测距偏差较小，ls代价函数在全局范围内为非凸，但其极值点个数并没有增加，在这种情况下迭代算法会收敛于同一个位置，说明ls模型在los场景中适用；在偏差为负的场景中，迭代结果与初始位置无关，验证了在此情况下fs具有全局收敛的特性。
在协同场景中，选取不同的初值，利用高斯⁃牛顿迭代算法解算用户位置，仿真结果分别如图4所示。在nlos定位环境中，由于存在较大的正测距误差，使得fc在全局范围内非凸并且导致产生了多个极值点，因此不同的初始值会导致算法迭代收敛到不同的极值点上；在los定位环境中，fc在全局范围内为非凸，但正测距偏差较小，因此仍然可以收敛到相同的极值点上；在测距偏差为负的情况下，fc在全局范围内为凸，因此无论初值如何选取，其必然会收敛到全局最优解。此结果较好地验证了命题2的正确性。
4 结 语
本文对协同定位无约束ls定位模型进行了凸性分析。通过对代价函数的 hessian矩阵的分析，得出了无约束ls代价函数的一个充分不必要条件，该条件指出，当测距偏差全部为负时，无约束ls定位代价函数全局为凸。在此基础上，分别对nlos环境、los环境以及测距偏差为负环境下的ls代价函数凸性进行了仿真分析，验证了该命题的正确性。除此以外，本文提出影响最小二乘代价函数非凸性的主要因素为正测距偏差，为后续研究奠定了理论基础。
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