电力电子控制中常用坐标变换的性质及约束条件
1、坐标变换的性质及约束条件坐标变换是一种线性变换，如无约束，变换就不是唯一的。在电机的系统分析中，所应用的坐标变换可有两种约束：
（1）功率不变约束，即变换前后功率保持不变。
（2）合成磁动势不变约束，即变换前后合成磁动势保持不变
1.1 功率不变约束设在某坐标系统中各绕组的电压和电流向量分别为 *u * = [u 1 , u 2 , …, u n ]^t^和 *i * = [i 1 , i 2 , …, i n ] ^t^ ，在新的坐标系统中电压和电流向量变为 u '= [u' 1 , u' 2 , …, u' n ]^t^和 i ' = [i' 1 , i' 2 , …, i' n ] ^t^ 。新向量与原向量的坐标变换关系为：
由于变换前后功率不变，则 i ^t^ u *** = i '^t^ u 'þi***^t^ u *** =(ci i ') ^t^ (cu* u ')= i '^t^c i ^t^cu u '，从而
其中e为单位矩阵。上式就是功率不变约束下坐标变换阵需要满足的关系式。
在一般情况下，电压变换阵与电流变换阵可以取为同一矩阵，即令c u =c i = c *** ，则有c*** ^t^ = c ^-1^
由此可知，在功率不变约束下，当电压向量和电流向量选取相同的变换时，
变换阵的转置与其逆矩阵相等，这样的坐标变换属于正交变换。
1.2 合成磁动势不变约束至于合成磁动势不变约束，因为绕组电流与磁动势成正比，只要把电流的合成向量分别在新坐标系和原坐标系进行投影，就可以确定新向量与原向量之间的坐标变换关系。
2、3s/2s变换三相-两相变换即指在三相静止坐标系a-b-c坐标系和两相静止坐标系α-β坐标系之间的变换，简称3/2变换或clarke变换。
2.1 clarke变换（功率不变）图 1 给出了a-b-c坐标系和α-β坐标系，为方便起见，取a轴和α 轴重合。设三相绕组每相有效匝数为n3，两相绕组每相有效匝数为n2，各相磁动势为有效匝数与电流的乘积，其空间矢量均位于有关相的坐标轴上。由于交流磁动势的大小随时间在变化着，图中磁动势矢量的长度是随意的
图1 三相和两相坐标系与绕组磁动势的空间矢量
设磁动势波形是正弦分布的，当三相总磁动势与二相总磁动势相等时，两套绕组瞬时磁动势在αβ轴上的投影都应相等，即
即
考虑变换前后总功率不变，在此前提下，匝数比应为
令c3/2表示从三相静止坐标系a-b-c坐标系到两相静止坐标系α-β坐标系的变换矩阵，则
令c2/3表示从两相静止坐标系α-β坐标系到三相静止坐标系a-b-c坐标系的变换矩阵，则
按照所采用的条件，电流变换阵也就是电压变换阵，同时还可证明，它们也是磁链的变换阵。
2.2 clarke变换（电力电子常用等幅变换）在一些电机以及电力电子变换控制中，常为了实现计算方便，进行等幅变换，这样变换矩阵为
即
逆变换（正变换的逆也为其转置）为
即
即
下面举例看下变换前后的关系，如
变换为
图2 αβ轴上电压波形（uα，uβ分别黄色和粉色，（幅值与abc均相等，β滞后α轴90°））
若
变换为
图3 αβ轴上电压波形（uα，uβ分别黄色和粉色，（幅值与abc轴均相等β超期α轴90°））
3、2s/2r变换
两相-两相变换即指在两相静止坐标系αβ坐标系和两相旋转坐标系dq坐标系之间的变换，简称2s/2r变换或park变换。
3.1 park变换给出了两相静止坐标系αβ坐标系和两相旋转坐标系dq坐标系。图中，两相交流电流iα, iβ和两相直流电流id, iq产生同样的以同步转速ω1旋转的合成磁动势fs。由于各绕组匝数都相等，可以消去磁动势中的匝数，直接用电流表示。但必须注意，这里的电流都是空间矢量，而不是时间相量。
图4 两相和两相坐标系与绕组磁动势的空间矢量
dq轴和矢量fs都以转速ω1旋转，分量id, iq的长短不变，相当于dq绕组的直流磁动势。但αβ轴是静止的，α轴与d轴的夹角θ随时间而变化，因此is在αβ轴上的分量的长短也随时间变化，相当于绕组交流磁动势的瞬时值。由图可见，id, iq和iα, iβ之间存在下列关系
则两相静止坐标系变换到两相旋转坐标系的变换阵是：
两相旋转坐标系变换到两相静止坐标系的变换阵是：
电压和磁链的旋转变换阵也与电流（磁动势）旋转变换阵相同。
3.2 park变换（电力电子常用两种变换）在电力电子变换中，常用两种：d轴与α轴位置相同，d轴滞后α轴90°。
第一种：d轴与α轴位置相同
其逆变换为
第二种：d轴滞后α轴90°
其逆变换为
若锁定与a相同相位（wt），则
第一种变换后，最终d = 0, q = -1.
第二种变换，最终 d = 1, q =0.
若锁定与a滞后90°（wt-pi/2），则
第一种变换后，最终d = 1, q = 0.
第二种变换，最终d = 0, q = 1.
4、 3s/2r变换三相-两相变换即指在三相静止坐标系a-b-c坐标系和两相旋转坐标系dq坐标系之间的变换，简称3s/2r变换。
4.1 3s/2r变换矩阵3s/2r变换如下图所示，
图5 三相与两相坐标系变换空间矢量图
从三相静止坐标系a-b-c坐标系到两相旋转坐标系dq坐标系的变换式为
其反变换式为
4.2 3s/2r变换矩阵（电力电子控制中常用两种变换）第一种：d轴与α轴位置相同
其逆变换结构
第二种：d轴滞后α轴90°
其逆变换
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（1）功率不变约束，即变换前后功率保持不变。
（2）合成磁动势不变约束，即变换前后合成磁动势保持不变
1.1 功率不变约束设在某坐标系统中各绕组的电压和电流向量分别为 *u * = [u 1 , u 2 , …, u n ]^t^和 *i * = [i 1 , i 2 , …, i n ] ^t^ ，在新的坐标系统中电压和电流向量变为 u '= [u' 1 , u' 2 , …, u' n ]^t^和 i ' = [i' 1 , i' 2 , …, i' n ] ^t^ 。新向量与原向量的坐标变换关系为：
由于变换前后功率不变，则 i ^t^ u *** = i '^t^ u 'þi***^t^ u *** =(ci i ') ^t^ (cu* u ')= i '^t^c i ^t^cu u '，从而
其中e为单位矩阵。上式就是功率不变约束下坐标变换阵需要满足的关系式。
在一般情况下，电压变换阵与电流变换阵可以取为同一矩阵，即令c u =c i = c *** ，则有c*** ^t^ = c ^-1^
由此可知，在功率不变约束下，当电压向量和电流向量选取相同的变换时，
变换阵的转置与其逆矩阵相等，这样的坐标变换属于正交变换。
1.2 合成磁动势不变约束至于合成磁动势不变约束，因为绕组电流与磁动势成正比，只要把电流的合成向量分别在新坐标系和原坐标系进行投影，就可以确定新向量与原向量之间的坐标变换关系。
2、3s/2s变换三相-两相变换即指在三相静止坐标系a-b-c坐标系和两相静止坐标系α-β坐标系之间的变换，简称3/2变换或clarke变换。
2.1 clarke变换（功率不变）图 1 给出了a-b-c坐标系和α-β坐标系，为方便起见，取a轴和α 轴重合。设三相绕组每相有效匝数为n3，两相绕组每相有效匝数为n2，各相磁动势为有效匝数与电流的乘积，其空间矢量均位于有关相的坐标轴上。由于交流磁动势的大小随时间在变化着，图中磁动势矢量的长度是随意的
图1 三相和两相坐标系与绕组磁动势的空间矢量
设磁动势波形是正弦分布的，当三相总磁动势与二相总磁动势相等时，两套绕组瞬时磁动势在αβ轴上的投影都应相等，即
即
考虑变换前后总功率不变，在此前提下，匝数比应为
令c3/2表示从三相静止坐标系a-b-c坐标系到两相静止坐标系α-β坐标系的变换矩阵，则
令c2/3表示从两相静止坐标系α-β坐标系到三相静止坐标系a-b-c坐标系的变换矩阵，则
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即
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变换为
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若
变换为
图3 αβ轴上电压波形（uα，uβ分别黄色和粉色，（幅值与abc轴均相等β超期α轴90°））
3、2s/2r变换
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则两相静止坐标系变换到两相旋转坐标系的变换阵是：
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3.2 park变换（电力电子常用两种变换）在电力电子变换中，常用两种：d轴与α轴位置相同，d轴滞后α轴90°。
第一种：d轴与α轴位置相同
其逆变换为
第二种：d轴滞后α轴90°
其逆变换为
若锁定与a相同相位（wt），则
第一种变换后，最终d = 0, q = -1.
第二种变换，最终 d = 1, q =0.
若锁定与a滞后90°（wt-pi/2），则
第一种变换后，最终d = 1, q = 0.
第二种变换，最终d = 0, q = 1.
4、 3s/2r变换三相-两相变换即指在三相静止坐标系a-b-c坐标系和两相旋转坐标系dq坐标系之间的变换，简称3s/2r变换。
4.1 3s/2r变换矩阵3s/2r变换如下图所示，
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4.2 3s/2r变换矩阵（电力电子控制中常用两种变换）第一种：d轴与α轴位置相同
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