差分放大电路的CMRR与输入电阻分析
共模抑制比cmrr
运放的共模抑制比是常被关注的参数，尤其是在差分放大器和仪表放大器中。但这里只讨论共模抑制比以及其带来的误差。
首先来了解下共模输入电压：指运放的两个输入引脚电压的平均值。如下图所示，对于双极性输入级的运放，运放的共模输入电压，一般达不到电源轨。而有些rail to rail 输入运放的共模电压是可以达到电源轨的。
在理想运放中，差模放大倍数是无穷大，共模放大倍数是0.但是实际中却达不到，不存在差模无穷大和共模放大0，于是就定义共模抑制比为差模增益与共模增益的比值。
还有一个参数很常见：cmr，它其实是cmrr的对数表示，如下：
这两个参数经常被混用，不过只有了解他们都是在表示运放对共模信号的抑制能力就可以了。
运放之所以违背我们的期望，对共模信号进行放大，主要是如下原因：
（1）运放输入级的不匹配。这又可以分为 源极或漏极电阻的不匹配，信号源电阻不匹配，栅极-漏极电容不匹配，正向跨导不匹配以及栅极漏电流引起的不匹配问题；
（2）拖尾电流源的输出阻抗；
（3）拖尾电流源的寄生电容会随频率的变化而变化。
下面就挑几个看看其影响。
（1）电阻不匹配
如下图所示，由于电阻的不匹配，一个共模电压的变化△vin，会在x，y 点转化成一个差模电压。
计算如下：
（2）晶体管的不匹配
管子的不匹配会导致两管子的电流有微小差别，并且两个的跨导是不一样的。
由于输入级管子的不匹配会导致共模信号转化成一个差模的误差，可以用下面的公式表示，它表示失配跨导引起的cmrr。
（3）拖尾恒流源的寄生电容随频率变化而变化
这个会引起恒流源电流的变化，差分输入端射极或源极电阻用恒流源代替的目的是保持电流恒定和高阻抗。但它的电流如果随频率发生变化，势必降低差分输入端的共模抑制能力。如下图：
差分放大器和仪表放大器，无非是多个运放和电阻集成在了一起，只是用激光修调过，所以匹配度很好，所以cmrr比较高。如果自己用普通运放和外围电阻搭建的话，cmrr很难达到集成的效果。
差分放大器和仪表放大器的cmrr主要受集成的差分放大电阻影响。因此掌握trim电阻精度的工艺是制作仪放，差放的核心技术，可以参考bruce trump的博文“差动放大器—良好匹配电阻器不可或缺的器件”。
差分放大电路的cmrr与输入电阻分析 1.经典差分放大电路
基于运放的经典差分放大电路在各模电教材中均能找到，利用分离电阻和运算放大器实现，如图1所示为一种差分放大电路：
图1 经典差分电路
（1）理想状态下的分析
首先将op1177看作理想运放，利用虚短、虚断的原理，可以得到：
vp=v2*r4/（r3+r4）---------------------（1）
（v1-vn）/r1=（vn-vout）/r2------------（2）
vn=vp-------------------------------------（3）
整理式（1）~（3），可以得到：
vout=（r1+r2）*r4/（r1*（r3+r4））*v2-v1*r2/r1------（4）
当r4/r3=r2/r1的时候：
vout=（r2/r1）（v2-v1）------------------（5）
式（5）表示在理想状态下，vout输出的信号为输入信号的差模输出，并能完全抑制共模信号，并能实现差模信号的放大。
（2）实际状态分析
为了便于分析，对于两路输入信号v2、v1，假设：
k1=vdef=v2-v1------------------------（6）
k2=vcom=（v2+v1）/2------------------（7）
其中vdef表示差模输入信号，vcom表示共模输入信号，为了方便计算，用系数k1、k2分别表示。
由式（6）、（7）整理得到：
v2=（2*k2+k1）/2--------------------------（8）
v1=（2*k2-k1）/2---------------------------（9）
将式（8）~（9）代入式（4）中，可以得到：
vout={（（r1+r2）*r4+r2*（r3+r4））/（2*r1（r3+r4））}*k1+{（r1+r2）*r4-r2*（r3+r4）/（r1*（r3+r4））}*k2
=a_dm*k1+a_cm*k2
=a_dm*（v2-v1）+a_cm*（（v2+v1）/2）--------------------------（10）
式（10）表示的含义是vout输出信号中，将差模输入信号v2-v1放大了a_dm倍，将共模信号（v2+v1）/2）放大了a_cm倍。
差模放大倍数a_dm表示为：
a_dm=（r1+r2）*r4+r2*（r3+r4））/（2*r1（r3+r4））-----------------（11）
共模放大倍数a_cm表示为：
a_cm=（r1+r2）*r4-r2*（r3+r4）/（r1*（r3+r4））--------------------（12）
则共模抑制比cmrr可以表示为：
cmrr=|a_dm/a_cm|=|（r1*r4+2*r2*r4+r2*r3）/（r1*r4-r2*r3）|-----------（13）
式（13）表示当r4/r3=r2/r1的时候，差分电路的共模抑制比cmrr一定会达到无穷大，此时的输出信号vout中将不再包含任何的共模信号。
图2 op1177的datasheet截图
图2所示为在op1177中出现的对cmrr函数对r1求偏导的结果，但我经过了数次推导之后，得到的结果如下：
δcmrr/δr1=-（r2*r3*r4+r2*r4*r4）/（r4r1-r2r3）2 ---------------（14）
式（14）是否成立？？？？
（3）差分放大电路的输入电阻分析
图3经典差分电路输入电阻分析
同时假设以下条件成立：
（1）运放理想
（2）电阻匹配，设r1=r2=r3=r4=10kω
设rin_v2、rin_v1分别为电路中，从v2端和v1端看进去的输入电阻。
如图3所示，v2端的输入电阻比较简单，可以直接看出rin_v2=r3+r4，由于运放的3端没有电流进入，因此可以得到：
rin_v2=r3+r4
=20kω------------------------------------------------------------------（15）
下面重点分析rin_v1是如何得到的：
假设在v1端加入信号源v1，在v1的输入端产生了电流i，则理论上来说，rin_v1可以表示为：
rin_v1=u/i---------------------------------------------------------------------（16）
从图3中可以得到：
i=（u-vn）/r1---------------------------------------------------------------------（17）
而vn=vp=v2*r4/（r3+r4）-----------------------------------------------------（18）
由式（16）~（18）可以得到：
rin_v1=v1*（r3+r4）*r1/（v1*r3+v1*r4-v2*r4）-------------------------（19）
代入式（8）~（9）并整理，得到：
rin_v1=（2*k2-k1（r3+r4）*r1）/（（2*k2-k1）（r3+r4）-（2*k2+k1）r4）----（20）
k1=v2-v1-------------------vcom两组输入信号之间的差模信号
k2=（v2+v1）/2--------------vdef表示两组信号之间的共模信号
从式（20）可以看出，影响rin_v1取值大小与电阻值、差模信号vdef、共模信号vcom的大小相关。
现考虑一种简单的情况，设共模信号vocm为零，即k2=0。
带入式（20）中，可以得到：
rin_v1=k1*（r3+r4）*r1/（k1（r3+r4）+k1r4）
=（r3+r4）*r1/（r3+2*r4）
=6.666kω---------------------------------------------------------------（21）
总结：
（1）由运放和分离电阻组成的差分电路的性能与运放、电阻匹配度等有关，在实际设计的时候需要考虑各方面因素。
（2）差分放大电路的两个输入端的输入电阻值不一致，影响差分放大电路的性能。
正是由于经典差分放大电路的缺点，才有了性能更好的差分放大器、仪表放大器等出现。
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还有一个参数很常见：cmr，它其实是cmrr的对数表示，如下：
这两个参数经常被混用，不过只有了解他们都是在表示运放对共模信号的抑制能力就可以了。
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（2）拖尾电流源的输出阻抗；
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计算如下：
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由于输入级管子的不匹配会导致共模信号转化成一个差模的误差，可以用下面的公式表示，它表示失配跨导引起的cmrr。
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这个会引起恒流源电流的变化，差分输入端射极或源极电阻用恒流源代替的目的是保持电流恒定和高阻抗。但它的电流如果随频率发生变化，势必降低差分输入端的共模抑制能力。如下图：
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基于运放的经典差分放大电路在各模电教材中均能找到，利用分离电阻和运算放大器实现，如图1所示为一种差分放大电路：
图1 经典差分电路
（1）理想状态下的分析
首先将op1177看作理想运放，利用虚短、虚断的原理，可以得到：
vp=v2*r4/（r3+r4）---------------------（1）
（v1-vn）/r1=（vn-vout）/r2------------（2）
vn=vp-------------------------------------（3）
整理式（1）~（3），可以得到：
vout=（r1+r2）*r4/（r1*（r3+r4））*v2-v1*r2/r1------（4）
当r4/r3=r2/r1的时候：
vout=（r2/r1）（v2-v1）------------------（5）
式（5）表示在理想状态下，vout输出的信号为输入信号的差模输出，并能完全抑制共模信号，并能实现差模信号的放大。
（2）实际状态分析
为了便于分析，对于两路输入信号v2、v1，假设：
k1=vdef=v2-v1------------------------（6）
k2=vcom=（v2+v1）/2------------------（7）
其中vdef表示差模输入信号，vcom表示共模输入信号，为了方便计算，用系数k1、k2分别表示。
由式（6）、（7）整理得到：
v2=（2*k2+k1）/2--------------------------（8）
v1=（2*k2-k1）/2---------------------------（9）
将式（8）~（9）代入式（4）中，可以得到：
vout={（（r1+r2）*r4+r2*（r3+r4））/（2*r1（r3+r4））}*k1+{（r1+r2）*r4-r2*（r3+r4）/（r1*（r3+r4））}*k2
=a_dm*k1+a_cm*k2
=a_dm*（v2-v1）+a_cm*（（v2+v1）/2）--------------------------（10）
式（10）表示的含义是vout输出信号中，将差模输入信号v2-v1放大了a_dm倍，将共模信号（v2+v1）/2）放大了a_cm倍。
差模放大倍数a_dm表示为：
a_dm=（r1+r2）*r4+r2*（r3+r4））/（2*r1（r3+r4））-----------------（11）
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cmrr=|a_dm/a_cm|=|（r1*r4+2*r2*r4+r2*r3）/（r1*r4-r2*r3）|-----------（13）
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图2 op1177的datasheet截图
图2所示为在op1177中出现的对cmrr函数对r1求偏导的结果，但我经过了数次推导之后，得到的结果如下：
δcmrr/δr1=-（r2*r3*r4+r2*r4*r4）/（r4r1-r2r3）2 ---------------（14）
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（1）运放理想
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如图3所示，v2端的输入电阻比较简单，可以直接看出rin_v2=r3+r4，由于运放的3端没有电流进入，因此可以得到：
rin_v2=r3+r4
=20kω------------------------------------------------------------------（15）
下面重点分析rin_v1是如何得到的：
假设在v1端加入信号源v1，在v1的输入端产生了电流i，则理论上来说，rin_v1可以表示为：
rin_v1=u/i---------------------------------------------------------------------（16）
从图3中可以得到：
i=（u-vn）/r1---------------------------------------------------------------------（17）
而vn=vp=v2*r4/（r3+r4）-----------------------------------------------------（18）
由式（16）~（18）可以得到：
rin_v1=v1*（r3+r4）*r1/（v1*r3+v1*r4-v2*r4）-------------------------（19）
代入式（8）~（9）并整理，得到：
rin_v1=（2*k2-k1（r3+r4）*r1）/（（2*k2-k1）（r3+r4）-（2*k2+k1）r4）----（20）
k1=v2-v1-------------------vcom两组输入信号之间的差模信号
k2=（v2+v1）/2--------------vdef表示两组信号之间的共模信号
从式（20）可以看出，影响rin_v1取值大小与电阻值、差模信号vdef、共模信号vcom的大小相关。
现考虑一种简单的情况，设共模信号vocm为零，即k2=0。
带入式（20）中，可以得到：
rin_v1=k1*（r3+r4）*r1/（k1（r3+r4）+k1r4）
=（r3+r4）*r1/（r3+2*r4）
=6.666kω---------------------------------------------------------------（21）
总结：
（1）由运放和分离电阻组成的差分电路的性能与运放、电阻匹配度等有关，在实际设计的时候需要考虑各方面因素。
（2）差分放大电路的两个输入端的输入电阻值不一致，影响差分放大电路的性能。
正是由于经典差分放大电路的缺点，才有了性能更好的差分放大器、仪表放大器等出现。
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