全文详解IIR滤波器原理与设计方法
1.iir滤波器的原理
1.1 概述
《数字信号处理》作为一门通信、电子、信息等本科专业基础课程，在《信号与系统》课程的基础上，学习离散信号与离散时间系统，尤其是离散傅里叶变换（dft）和快速傅里叶变换（fft）、数字滤波器、多速率信号处理等在通信、雷达等领域得到广泛应用。
无限脉冲相应（infinite impulse response ，iir）滤波器与（finite impulse response ，fir）滤波器构成了两种常用的数字滤波器，这两者既有联系，也有区别。
首先，iir滤波器具有很高的滤波效率，在相同幅频响应条件下，所需的滤波器阶数明显比fir滤波器低。其次，iir滤波器的设计，可以借鉴模拟滤波器的设计成果。此外，iir滤波器可以用较少的硬件资源（主要是乘加运算的dsp资源）获得较好的滤波器幅频特性。
需要注意的是，iir滤波器的一个显著特点是不具备严格的线性相位特性，相对于fir滤波器而言应用范围较窄，只有在不需要严格线性相位特性的情况下，可以利用iir滤波器实现数字滤波。
数字滤波器通常由一个系统函数、差分方程、方框图或流图来表示：
其基本运算单元、方框图及流图为：
例如给定一个二阶滤波器：，则其方框图结构与流图结构如下图所示。
在流图结构中，我们还需要弄清楚以下几个基本概念：
节点：
源节点：只有输出、没有输入的的节点
阱节点（输出节点）：只有输入支路而没有输出支路，它一般代表系统的输出变量，故也称为输出节点。
网络节点：分支节点或加法器
支路：只有一个输入，由一个或多个输出的节点
节点的值=所有输入支路的值之和
支路的值=支路起点处的节点值×传输系数
知乎话题：如何通俗易懂地理解fir/iir滤波器？
1.2iir滤波器的原理及特性
llr滤波器具有以下结构及特点：
iir滤波器的特点：
系统的单位抽样相应h(n)无限长理解：由于本步骤的输出会作为下一步骤的输入，无限递归下去，所以一个时刻的影响就是无限的，也就是“无限冲激响应”。
系统函数h(z)在有限z平面（ 0<|z|<∞）上有极点存在lsi系统因果稳定性：一个lsi系统是因果稳定系统的必要与充分条件是系统函数h(z)必须是在从单位圆|z|=1到|z|<∞的整个z平面内（0≤|z|≤∞）收敛。即：系统函数h(z)的全部极点必须在z平面的单位圆以内。
存在输出到输入的反馈，递归型结构在物理世界的时间系统中，因环境噪声等不可控因素，iir滤波器将可能导致所设计系统不稳定，反复递归振荡。
如果只有不为0，其他，则称为全极点型的iir滤波器或自回归（ar）系统，如果由两个或多个，则称为零-极点型的iir滤波器或自回归滑动平均（arma）系统。
iir滤波器结构：直接i型、直接ii型、级联型、并联型和格型结构。
单位冲击相应h(n)为实数。
1.3 iir滤波器的结构
1.3.1 直接i型
对于差分方程：如果先实现各的加权和，再实现各的加权和，则称之为直接i型。
1.3.2直接ii型
将直接i型结构的两个延时链子系统的次序进行交换，并将有相同输出的中间两延时链加以合并，即可得到直接ii型结构（典范型结构）。
直接型的共同缺点
对于高阶滤波器，系数a_k和b_k分别对滤波器的极点与零点的控制作用不明显，即对频率响应的控制作用不明显，因而调整频率响应比较困难。
极点对系数的变化过于灵敏，易出现不稳定或较大误差
运算的累积误差较大：乘法运算的量化误差，造成系统输出端噪声功率大
1.3.3 级联型
1.3.4并联型
2.iir滤波器的设计方法
程佩青《数字信号处理教程》（第四版简明版）第6章总结的iir滤波器设计方法
显然，在数字化时代，利用matlab、fpga、dsp等软硬件来设计滤波器，才能应用到产品中！
3.iir滤波器的matlab设计
matlab软件提供了丰富的滤波器设计方法，例如signal processing toolbox提供了fir、iir、单速率和多速率滤波器设计、分析和实现的案例，可以用于设计参考。
除了函数，我们也可以利用filterdesigner设计。命令行键入filterdesigner ，回车。
进入滤波器设计界面，设计一个iir滤波器。
在界面的左侧，显示当前滤波器信息。“响应类型”用于指定滤波器的作用。“设计方法”包含iir和fir，用于指定滤波器的类型。设置滤波器的阶数，设定频率的单位可以采用归一化或hz、khz、mhz等。参数设置完毕，点击“设计滤波器”，可通过工具栏查看所设计滤波器的幅值响应、相位响应、群延迟响应、零极点图等。并可在左上角查看当前滤波器信息。
设计确定后，可对滤波器系数进行量化。设置量化参数，滤波器算法选择“定点”，系数字长设为16。
需要注意的是，在生成.coe文件时，需要满足定点、单节和直接型的fir，才能支持xilinx fpga所需的.coe文件。我们也可以将所设计滤波器导出生成.m文件，以供应用。
此外，我们可以应用designfilt设计滤波器，再用filter对数据进行滤波。
例如，设计一个低通iir滤波器。
4.iir滤波器的fpga实现
iir滤波器的fpga实现比较复杂，需要应用到除法器。在利用fpga实现iira滤波器前，我们需要将matlab设计的iir滤波器满足设计需求后，将系数进行量化。
示例：采用cheby2函数设计一个阶数为7（级数为8）的带通滤波器，采样频率为2000hz、截至频率为500hz、阻带衰减为60db，设计一个iir滤波器。
c=fvtool(b,a)，将滤波器可视化。
为方便fpga实现，我们需要将系数进行量化定点。对于iir滤波器的fpga设计，可以参考杜勇的《数字滤波器的matlab与fpga实现》第5章。在实际应用中，很少用iir滤波器去做设计，而是更多的应用fir滤波器设计。
最后，我们需要将处理结果进行对比，确保设计一致。
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首先，iir滤波器具有很高的滤波效率，在相同幅频响应条件下，所需的滤波器阶数明显比fir滤波器低。其次，iir滤波器的设计，可以借鉴模拟滤波器的设计成果。此外，iir滤波器可以用较少的硬件资源（主要是乘加运算的dsp资源）获得较好的滤波器幅频特性。
需要注意的是，iir滤波器的一个显著特点是不具备严格的线性相位特性，相对于fir滤波器而言应用范围较窄，只有在不需要严格线性相位特性的情况下，可以利用iir滤波器实现数字滤波。
数字滤波器通常由一个系统函数、差分方程、方框图或流图来表示：
其基本运算单元、方框图及流图为：
例如给定一个二阶滤波器：，则其方框图结构与流图结构如下图所示。
在流图结构中，我们还需要弄清楚以下几个基本概念：
节点：
源节点：只有输出、没有输入的的节点
阱节点（输出节点）：只有输入支路而没有输出支路，它一般代表系统的输出变量，故也称为输出节点。
网络节点：分支节点或加法器
支路：只有一个输入，由一个或多个输出的节点
节点的值=所有输入支路的值之和
支路的值=支路起点处的节点值×传输系数
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llr滤波器具有以下结构及特点：
iir滤波器的特点：
系统的单位抽样相应h(n)无限长理解：由于本步骤的输出会作为下一步骤的输入，无限递归下去，所以一个时刻的影响就是无限的，也就是“无限冲激响应”。
系统函数h(z)在有限z平面（ 0<|z|<∞）上有极点存在lsi系统因果稳定性：一个lsi系统是因果稳定系统的必要与充分条件是系统函数h(z)必须是在从单位圆|z|=1到|z|<∞的整个z平面内（0≤|z|≤∞）收敛。即：系统函数h(z)的全部极点必须在z平面的单位圆以内。
存在输出到输入的反馈，递归型结构在物理世界的时间系统中，因环境噪声等不可控因素，iir滤波器将可能导致所设计系统不稳定，反复递归振荡。
如果只有不为0，其他，则称为全极点型的iir滤波器或自回归（ar）系统，如果由两个或多个，则称为零-极点型的iir滤波器或自回归滑动平均（arma）系统。
iir滤波器结构：直接i型、直接ii型、级联型、并联型和格型结构。
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将直接i型结构的两个延时链子系统的次序进行交换，并将有相同输出的中间两延时链加以合并，即可得到直接ii型结构（典范型结构）。
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对于高阶滤波器，系数a_k和b_k分别对滤波器的极点与零点的控制作用不明显，即对频率响应的控制作用不明显，因而调整频率响应比较困难。
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运算的累积误差较大：乘法运算的量化误差，造成系统输出端噪声功率大
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为方便fpga实现，我们需要将系数进行量化定点。对于iir滤波器的fpga设计，可以参考杜勇的《数字滤波器的matlab与fpga实现》第5章。在实际应用中，很少用iir滤波器去做设计，而是更多的应用fir滤波器设计。
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