傅里叶变换的应用 FFT分析信号频谱
前面两篇文章讲了离散傅里叶变换的应用之一——用fft分析信号频谱，并给出了一道题目。链接如下：
数字信号处理系列串讲第11篇（离散信号的频域分析之五）——傅里叶变换的应用（1）：fft分析信号频谱（之一）
数字信号处理系列串讲第12篇（离散信号的频域分析之五）——fft分析信号频谱题目解答（补充修订版）
今天这篇，来说一说fft分析信号频谱中一个重要的概念：频率分辨率。
分辨率是信号处理中的基本概念之一，通俗地讲，分辨率就是能够将两个事物分开的能力。频率分辨率就是频域上能够将两个不同频率分量分开的能力。
前面说了，计算机只能处理有限长的数据。无限长的单频信号的频谱为一个冲激，但有限长（例如长度为l）的单频信号，频谱是什么样子呢？上一篇中已经给大家详细推导了，宽度为4π/l（单位：弧度rad）。那么，如果信号中包含两个频率成分，要能够把它们分开，它们最近能离得多近呢？看下图：
图1
注意，上图中只画出了主瓣，没有画出旁瓣。上图中的δw为数字域频率，单位为：弧度rad，再利用数字域频率与模拟角频率的关系（如果这个问题有疑惑，看如下链接：）
数字信号处理系列（离散信号的频域分析之二）——数字域频率与模拟角频率
得到频率分辨率为：
图2
上式中，fs为采样率，t为采样间隔，l为截取的数据点数。因此，lt为数据时间长度（单位：秒），也就是说
频率分辨率为信号时长的倒数。
这与我们的直观感受也是一致的，截取的信号时间越长，得到的信息越多，频率分辨率越高，即δf的数值越小，越有可能把离得很近的两个频率分辨开。
那么，问题来了，如果l很小，但我给截取后的数据补上很多个零，做一个比较大点数的dft，能提高频率分辨率吗？
补零的作用，可以减小将频谱离散化时的间隔（提高频谱离散化的精细度，因为n点dft就是将频谱以2π/n为间隔离散化），可以减小”栅栏效应“。但dft是对信号dtft的抽样，而补零并不能改变dtft的结果，也就是说，连续的频谱在补零前后是一样的，因此频率分辨率也就不会发生改变。
另一方面，从信息的角度，直观上就很容易理解，补零并不增加新的信息，自然也就不会改善频率分辨率。
所以说，对l点长的数据做n点dft，频率分辨率为：fs/l，而不是fs/n。
但是，在计算第k根谱线对应的模拟频率时，是：kfs/n，而不是kfs/l。
为了区分，有些教材上，将fs/n称为“计算分辨率”，fs/l称为”物理分辨率“。
我讲清楚了吗？
另外，我们知道，如果采样率为fs，意味着信号中最高频率fh不能超过fs的一半，即：
fs≥2fh
将上式代入到图2公式中，得到：
根据上式，得到：
也就是说，若信号中最高频率成分为fh，要达到δf的频率分辨率，至少要截取的序列点数l为2fh/δf。
注意，上式得到的l，为理论上的最低条件。因为上式的导出，是没有考虑其他信号处理措施（如加各种窗），除了矩形窗之外的窗函数，主瓣会展宽，而且实际信号含有噪声。因此，实际信号处理时，序列点数需大于上述条件。
最后，总结一下重点：
频率分辨率为信号时长的倒数。
补零，可以改善“栅栏效应”，但不能真正提高信号的频率分辨率。
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图1
注意，上图中只画出了主瓣，没有画出旁瓣。上图中的δw为数字域频率，单位为：弧度rad，再利用数字域频率与模拟角频率的关系（如果这个问题有疑惑，看如下链接：）
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得到频率分辨率为：
图2
上式中，fs为采样率，t为采样间隔，l为截取的数据点数。因此，lt为数据时间长度（单位：秒），也就是说
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这与我们的直观感受也是一致的，截取的信号时间越长，得到的信息越多，频率分辨率越高，即δf的数值越小，越有可能把离得很近的两个频率分辨开。
那么，问题来了，如果l很小，但我给截取后的数据补上很多个零，做一个比较大点数的dft，能提高频率分辨率吗？
补零的作用，可以减小将频谱离散化时的间隔（提高频谱离散化的精细度，因为n点dft就是将频谱以2π/n为间隔离散化），可以减小”栅栏效应“。但dft是对信号dtft的抽样，而补零并不能改变dtft的结果，也就是说，连续的频谱在补零前后是一样的，因此频率分辨率也就不会发生改变。
另一方面，从信息的角度，直观上就很容易理解，补零并不增加新的信息，自然也就不会改善频率分辨率。
所以说，对l点长的数据做n点dft，频率分辨率为：fs/l，而不是fs/n。
但是，在计算第k根谱线对应的模拟频率时，是：kfs/n，而不是kfs/l。
为了区分，有些教材上，将fs/n称为“计算分辨率”，fs/l称为”物理分辨率“。
我讲清楚了吗？
另外，我们知道，如果采样率为fs，意味着信号中最高频率fh不能超过fs的一半，即：
fs≥2fh
将上式代入到图2公式中，得到：
根据上式，得到：
也就是说，若信号中最高频率成分为fh，要达到δf的频率分辨率，至少要截取的序列点数l为2fh/δf。
注意，上式得到的l，为理论上的最低条件。因为上式的导出，是没有考虑其他信号处理措施（如加各种窗），除了矩形窗之外的窗函数，主瓣会展宽，而且实际信号含有噪声。因此，实际信号处理时，序列点数需大于上述条件。
最后，总结一下重点：
频率分辨率为信号时长的倒数。
补零，可以改善“栅栏效应”，但不能真正提高信号的频率分辨率。
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