BUCK电路中电感伏秒平衡的表达式推导
本文通过buck电路中功率电感在ton和toff两个阶段的公式，推导出电感伏秒平衡的表达式。
当开关工作在固定的开关频率时，占空比d也保持恒定，电流波形和电压波形在每个周期都是重复的或者周期性的（假如周期为t），即 i((n+1)t) = i(nt) 和 v((n+1)t) = v(nt) ，这样的状态就称为稳态。
开关电源工作在稳态时，功率电感器和输出电容器这两个元件对应着两个非常重要的原理，即电感伏秒平衡（inductor volt-second balance）和电容电荷平衡（capacitor charge balance），这通常被用于分析开关电源的稳态工作过程。
图 3.1 非同步降压电路的导通和关断状态
电感器的伏秒平衡原理有以下三种表述方式：
表述一：开关电源稳态工作时，开关管导通阶段（即电感电流上升阶段）的伏秒积，与开关管关断阶段（即电感电流下降阶段）的伏秒积相等（但符号相反）。
表述二：开关电源稳态工作时，任何开关周期内，电感电压曲线的净面积必然为零。
表述三：开关电源稳态工作时，任何开关周期内，电感电压的平均值（电感电压的直流分量）为零。
表述四：使用公式可表示为
图 3.2 降压电路ccm模式的电感电流增量等于减量
1. ton开关管导通阶段
图 3.1所示，以降压电路为例，在开关管导通期间t_on，电感上的电流是逐渐增大的（电感上的储能是逐渐增加的，能量临时存储在功率电感中），所以电感上的感应电压 v_(l,on) 与电流的方向是相反的（即电感阻止电流增大）。
在ton阶段，根据电感公式 v=l×di/dt=l×∆i/∆t ，可得电流增量为
根据基尔霍夫电压定律（kirchhoff voltage laws, kvl），在任何闭合回路中，所有元件两端的电势差（电压）的代数和等于零，我们容易得到
所以，ton阶段电感上的（感应）电压为
其中：v_in 是输入电压，v_(ds(on)-h) 是开关管上的压降（流过的电流与 r_(ds(on)) 的乘积），v_dcr 是电感上的压降（流过的电流与电感直流电阻 r_dc 的乘积），v_out 是输出电压。
在忽略 v_(ds(on)-h) 、v_dcr 两个参数的情况下，ton阶段电感上的（感应）电压为
所以，在ton阶段，电感电流增量又可以表示为
或
2. toff开关管关断阶段
在开关管关断期间，电感上的电流是逐渐减小的（电感上的储能是逐渐减小的，临时储存的能量开始往负载端传递），所以电感上的感应电压 v_(l,off) 与电流的方向是相同的（即电感阻止电流减小）。
在toff阶段，根据电感公式 v=l×di/dt=l×∆i/∆t （不考虑到电流与感应电压的方向），可得电流减量为
根据kvl定律，我们容易得到（考虑到电流是减小的，感应电压为负）：
所以，toff阶段电感上的（感应）电压为
其中：v_dcr 是电感上的压降（流过的电流与电感直流电阻 r_dc 的乘积），v_d 是续流二极管正向导通压降。
在忽略功率电感直流电阻压降 v_dcr 、续流二极管正向导通压降 v_d 两个参数的情况下，toff阶段电感上的（感应）电压为
所以，在toff阶段，电感电流减量又可以表示为
或
3.电感纹波电流每周期归零
在三种电路拓扑（降压电路，升压电路和降升压电路）中，稳态时电感上的纹波电流每周期归零，开关管导通期间的增量 ∆i_(l,on)（由输入电容放电导致），等于开关管关断期间的减量 ∆i_(l,off)（由输出电容充电导致），等于电感上的纹波电流 ∆i_l，即
将公式(3.13)和公式(3.19)代入公式(3.25)，并消去感值 l 得到
电感电压与作用时间的乘积就是“伏秒积”。 公式(3.26)表明，开关管导通阶段（即电感电流上升阶段）的伏秒积，与开关管关断阶段（即电感电流下降阶段）的伏秒积相等（但符号相反），这就是基于电感电压 v_(l,on) 和 v_(l,off) 的“伏秒定律（表述一）”的公式化表述。
如果将公式(3.15)和公式(3.21)代入公式(3.26)，可得：
如果将公式(3.16)和公式(3.22)代入公式(3.26)，可得：
这是基于输入电压 v_in 和输出电压 v_out 的“伏秒定律”的公式化表述。
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开关电源工作在稳态时，功率电感器和输出电容器这两个元件对应着两个非常重要的原理，即电感伏秒平衡（inductor volt-second balance）和电容电荷平衡（capacitor charge balance），这通常被用于分析开关电源的稳态工作过程。
图 3.1 非同步降压电路的导通和关断状态
电感器的伏秒平衡原理有以下三种表述方式：
表述一：开关电源稳态工作时，开关管导通阶段（即电感电流上升阶段）的伏秒积，与开关管关断阶段（即电感电流下降阶段）的伏秒积相等（但符号相反）。
表述二：开关电源稳态工作时，任何开关周期内，电感电压曲线的净面积必然为零。
表述三：开关电源稳态工作时，任何开关周期内，电感电压的平均值（电感电压的直流分量）为零。
表述四：使用公式可表示为
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1. ton开关管导通阶段
图 3.1所示，以降压电路为例，在开关管导通期间t_on，电感上的电流是逐渐增大的（电感上的储能是逐渐增加的，能量临时存储在功率电感中），所以电感上的感应电压 v_(l,on) 与电流的方向是相反的（即电感阻止电流增大）。
在ton阶段，根据电感公式 v=l×di/dt=l×∆i/∆t ，可得电流增量为
根据基尔霍夫电压定律（kirchhoff voltage laws, kvl），在任何闭合回路中，所有元件两端的电势差（电压）的代数和等于零，我们容易得到
所以，ton阶段电感上的（感应）电压为
其中：v_in 是输入电压，v_(ds(on)-h) 是开关管上的压降（流过的电流与 r_(ds(on)) 的乘积），v_dcr 是电感上的压降（流过的电流与电感直流电阻 r_dc 的乘积），v_out 是输出电压。
在忽略 v_(ds(on)-h) 、v_dcr 两个参数的情况下，ton阶段电感上的（感应）电压为
所以，在ton阶段，电感电流增量又可以表示为
或
2. toff开关管关断阶段
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在toff阶段，根据电感公式 v=l×di/dt=l×∆i/∆t （不考虑到电流与感应电压的方向），可得电流减量为
根据kvl定律，我们容易得到（考虑到电流是减小的，感应电压为负）：
所以，toff阶段电感上的（感应）电压为
其中：v_dcr 是电感上的压降（流过的电流与电感直流电阻 r_dc 的乘积），v_d 是续流二极管正向导通压降。
在忽略功率电感直流电阻压降 v_dcr 、续流二极管正向导通压降 v_d 两个参数的情况下，toff阶段电感上的（感应）电压为
所以，在toff阶段，电感电流减量又可以表示为
或
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如果将公式(3.15)和公式(3.21)代入公式(3.26)，可得：
如果将公式(3.16)和公式(3.22)代入公式(3.26)，可得：
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